Личность Бельтрами
-
Тождество Бельтрами
- Тождество Бельтрами — частный случай уравнения Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении.
- Уравнение Эйлера-Лагранжа используется для поиска экстремумов функционалов действия.
- Если производная от лагранжиана по переменной равна нулю, то получается тождество Бельтрами.
-
Вывод тождества Бельтрами
- Производная от лагранжиана равна сумме его дифференциала и произведения его частной производной на дифференциал независимой переменной.
- Приравнивая производную от лагранжиана к нулю, получаем тождество Бельтрами.
-
Приложения тождества Бельтрами
- Пример использования тождества Бельтрами — задача о брахистохроне, где требуется найти кривую с минимальной длиной.
- Тождество также применяется для решения задач с контактной сетью, например, для определения пути струны с заданной длиной и плотностью.
-
Решение задачи с контактной сетью
- Струна с постоянной плотностью подвешена на двух точках на расстоянии D.
- Задача состоит в минимизации потенциальной энергии струны и ограничении длины дуги.
- Тождество Бельтрами позволяет выразить путь струны в виде дифференциального уравнения первого порядка.
- Решение этого уравнения дает гиперболический косинус, который можно использовать для определения неизвестных C, C0 и λ.