Инвариант Хопфа
-
Инвариант Хопфа
- Гомотопический инвариант отображений между n-сферами
- Доказан Хайнцем Хопфом в 1931 году
- Жан-Пьер Серр доказал, что для нечетных n инвариант равен нулю
-
Определение
- Карта φ: S2n-1 → Sn
- Клеточный комплекс Cφ с D2n, прикрепленным к Sn через φ
- Группы клеточных цепей Ccell∗(Cφ) равны Z в степени 0, n и 2n, ноль в остальных
- Когомологии равны Z, образующие α и α⌣α
- Целое число h(φ) является инвариантом Хопфа
-
Свойства
- Отображение h: π2n-1(Sn) → Z является гомоморфизмом
- Для нечетных n h тривиально
- Для четных n h содержит 2Z
- Изображение произведения карт идентичности Уайтхеда равно 2
- Инвариант Хопфа равен 1 для карт Хопфа для n = 1, 2, 4, 8
-
Интегральная формула Уайтхеда
- Дана карта φ: S2n-1 → Sn, объемная форма ωn на Sn с ∫Sn ωn = 1
- Откат назад φ∗ωn является замкнутой дифференциальной формой
- Существует (n-1)-форма η на S2n-1 такая, что dη = φ∗ωn
- Инвариант Хопфа задается формулой
-
Обобщения для стабильных карт
- Стабильный геометрический инвариант Хопфа из F является элементом Z2-эквивариантной гомотопической группы отображений из X к Y∧Y
- Нестабильная версия инварианта Хопфа hV(F) требует отслеживания векторного пространства V