Пространство близости
-
Определение пространства близости
- Пространство близости (X, δ) — это набор X с отношением δ между подмножествами X.
- Отношение δ удовлетворяет аксиомам, описывающим близость между множествами.
-
История и аксиоматизация
- Концепция была описана Фриджесом Риссом в 1909 году, но игнорировалась.
- В. А. Ефремович аксиоматизировал её в 1934 году, но не публиковал до 1951 года.
- А. Д. Уоллес открыл версию концепции в 1941 году.
-
Основные свойства
- Близость без первой аксиомы называется квазиположенностью.
- Близость определяется как A δ B, если A и B находятся рядом или B является ближайшим к A.
- Основные свойства отношения окрестности множества дают альтернативную аксиоматическую характеристику пространств близости.
-
Разделенные пространства близости
- Пространство близости называется разделенным, если {x} δ {y} подразумевает x = y.
- Карта близости сохраняет близость, если f[A] δ f[B] для всех A и B в X.
-
Топология и карты близости
- Можно определить топологию, используя оператор замыкания по Куратовски.
- Если пространство близости разделено, результирующая топология является Хаусдорфовой.
- Карты близости непрерывны между индуцированными топологиями.
-
Компактные пространства и однородные пространства
- В компактном Хаусдорфовом пространстве существует уникальное пространство близости.
- Однородное пространство устанавливает связь близости через пересечение множеств.
-
Связанные понятия
- Пространство Коши — понятие в общей топологии и анализе.
- Пространство сходимости — обобщение понятия сходимости.
- Претопологическое пространство — обобщенное топологическое пространство.