Деформация (математика)
-
Теория деформации в математике
- Изучение бесконечно малых условий, связанных с изменением решения задачи.
- Применение дифференциального исчисления к задачам с ограничениями.
- Примеры: вывод уравнений первого порядка, изолированные решения, интегрируемость бесконечно малых ограничений.
-
История и применение
- Теория деформаций имеет многовековую историю в математике, физике и инженерном деле.
- В геометрии чисел известны теоремы изоляции.
- Теория возмущений рассматривает деформации операторов.
-
Деформации комплексных многообразий
- Теория комплексных многообразий и алгебраических многообразий многообразий.
- Работа Кунихико Кодайры и Дональда К. Спенсера.
- Деформации регулируются голоморфными квадратичными дифференциалами.
-
Плоские карты и деформации
- Плоские карты как обобщение деформаций.
- Универсальная семья для деформаций.
- Деформации зародышей аналитических алгебр.
-
Когомологическая интерпретация деформаций
- Использование касательных когомологий для систематизации деформаций.
- Разрешение Тюриной для аналитических алгебр.
- Касательные когомологии содержат информацию обо всех деформациях.
-
Функторы предварительной деформации
- Функторы предварительной деформации используются для изучения бесконечно малых структур пространств модулей.
- Функторы определяются как функторы, которые переводят точки в пространства модулей.
- Функторы могут быть использованы для описания модулей гиперповерхностей и кривых.
-
Бесконечно малые величины
- Бесконечно малые величины используются для нестрогих рассуждений в математическом анализе.
- Они позволяют находить производные от одночленов и рассматривать разложения Тейлора.
- Нильпотентные элементы в локальных алгебрах Артина делают бесконечно малые величины строгими.
-
Приложения теории деформации
- Размерность модулей кривых может быть вычислена с помощью теории деформации.
- Метод «Согни и сломай» используется для доказательства существования рациональных кривых на многообразиях.
- Арифметические деформации позволяют расширять кривые над конечными полями.
- Деформации абелевых схем контролируются деформациями p-делимых групп.
- Деформации Галуа позволяют распространять представления Галуа.
-
Связь с теорией струн
- Гипотеза Делиня связывает теорию деформаций с теорией струн.
- Максим Концевич предложил общепринятое доказательство гипотезы Делиня.