Schwarzschild metric
-
История и формулировка
- Шварцшильд нашел точное решение уравнений Эйнштейна в 1916 году.
- Решение описывает гравитационное поле вокруг сферической массы при условии, что заряд, угловой момент и космологическая постоянная равны нулю.
- Решение полезно для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как звезды и планеты.
-
Свойства и характеристики
- Шварцшильдская черная дыра не имеет электрического заряда и углового момента.
- Черная дыра характеризуется горизонтом событий, расположенным на радиусе Шварцшильда.
- Горизонт событий не является физической поверхностью, а математической поверхностью, определяющей свойства черной дыры.
-
Формулировка и координаты
- Шварцшильдская метрика — это сферически симметричная лоренцева метрика, определенная на подмножестве R × (E3 − O) ≅ R × (0, ∞) × S2.
- В координатах (t, r, θ, ϕ) метрика имеет вид ds2 = c2 dτ2 = (1 − r/r)c2 dt2 − (1 − r/r)−1 dr2 − r2 dΩ2.
- dτ2 положительно для времениподобных кривых, τ — собственное время, c — скорость света, t — время, r — радиальная координата, Ω — точка на сфере S2, θ — коlatitude, ϕ — долгота.
-
Сингулярности и асимптотика
- Метрика имеет сингулярность при r = 0 и, возможно, на горизонте событий.
- Для r ≫ rs метрика асимптотически приближается к стандартной метрике Минковского.
- Для большинства астрономических объектов r/rS очень мало, что делает сингулярности несущественными.
-
История и развитие
- Решение названо в честь Карла Шварцшильда, который нашел его в 1915 году.
- В 1916 году решение было независимо получено Йоханнесом Дростеном.
- В 1921 году Пол Пайнлеве и в 1922 году Алвар Гулльстранд независимо предложили метрику без сингулярности на горизонте событий.
-
История открытия сингулярности
- В 1924 году Артур Эддингтон показал, что сингулярность при r = rs является координатным артефактом.
- В 1932 году Жорж Лемэтр также показал, что сингулярность не является физической.
- В 1939 году Говард Робертсон доказал, что сингулярность можно пересечь за конечное время.
- В 1950 году Джон Синдж показал, что сингулярность представляет собой два горизонта.
-
Математическое обоснование
- В 1960-х годах математически точная формулировка общей теории относительности позволила определить сингулярность как горизонт событий.
- Сингулярность при r = 0 является истинной физической сингулярностью, а при r = rs — координатной.
-
Альтернативные координаты
- Существуют различные координаты, такие как координаты Лемэтра, Эддингтона-Финкельштейна, Крускала-Шекереса и другие, которые показывают разные аспекты решения.
- Координаты Крускала-Шекереса позволяют выразить решение в форме гравитационного солитона.
-
Визуализация пространственной кривизны
- Пространственная кривизна решения может быть визуализирована с помощью параболоида Фламма.
- Параболоид Фламма полезен для понимания пространственной кривизны, но не является гравитационной ямой.
-
Орбитальное движение
- В Schwarzschild метрике возможны стабильные круговые орбиты при r > 3rs.
- Орбиты при r между 1.5rs и 3rs нестабильны, а при r < 1.5rs не существуют.
- Орбитальная скорость при r = 1.5rs приближается к скорости света.
-
Экзотические орбиты
- Между случаем Меркурия и падением за горизонт событий существуют орбиты по острию ножа.
- Спутник может совершать почти круговые обороты, после чего возвращается в исходное положение.
-
Симметрии метрики Шварцшильда
- Группа изометрий метрики Шварцшильда: R × O(3) × {±1}.
- O(3) включает вращения и отражения в трех измерениях.
- R включает переводы времени.
- {±1} — группа, созданная путем обращения времени вспять.
- Группа имеет четыре измерения и четыре связанных компонента.
-
Изгибы метрики
- Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи равны нулю.
- Ненулевые составляющие тензора римановой кривизны: [25].
- Компоненты, полученные с помощью симметрий тензора Римана, не отображаются.
- В ортонормированном базисе наблюдателя ненулевые составляющие: [25].
-
Уравнение геодезического отклонения
- Приливное ускорение между наблюдателями: D2ξj^/Dτ2 = −R^jt^k^t^ξk^.
- Тело длиной L растягивается в радиальном направлении с ускорением (rs/r3)c2L.
- Тело сжимается в перпендикулярных направлениях с ускорением -(rs/(2r3))c2L.
-
Дополнительные материалы
- Вывод решения Шварцшильда.
- Метрика Рейсснера–Нордстрема.
- Метрика Керра.
- Метрика Керра–Ньюмана.
- Черная дыра, общий обзор.
- Координаты Шварцшильда.
- Координаты Крускаль–Секереш.
- Координаты Эддингтона–Финкельштейна.
- Координаты Гулльстранд–Пенлеве.
- Координаты Леметра.
- Рамочные поля в общей теории относительности.
- Уравнение Толмана–Оппенгеймера–Волкова.
- Планковская длина.