Метрика Шварцшильда

Schwarzschild metric История и формулировка Шварцшильд нашел точное решение уравнений Эйнштейна в 1916 году.   Решение описывает гравитационное поле вокруг сферической […]

Schwarzschild metric

  • История и формулировка

    • Шварцшильд нашел точное решение уравнений Эйнштейна в 1916 году.  
    • Решение описывает гравитационное поле вокруг сферической массы при условии, что заряд, угловой момент и космологическая постоянная равны нулю.  
    • Решение полезно для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как звезды и планеты.  
  • Свойства и характеристики

    • Шварцшильдская черная дыра не имеет электрического заряда и углового момента.  
    • Черная дыра характеризуется горизонтом событий, расположенным на радиусе Шварцшильда.  
    • Горизонт событий не является физической поверхностью, а математической поверхностью, определяющей свойства черной дыры.  
  • Формулировка и координаты

    • Шварцшильдская метрика — это сферически симметричная лоренцева метрика, определенная на подмножестве R × (E3 − O) ≅ R × (0, ∞) × S2.  
    • В координатах (t, r, θ, ϕ) метрика имеет вид ds2 = c2 dτ2 = (1 − r/r)c2 dt2 − (1 − r/r)−1 dr2 − r2 dΩ2.  
    • dτ2 положительно для времениподобных кривых, τ — собственное время, c — скорость света, t — время, r — радиальная координата, Ω — точка на сфере S2, θ — коlatitude, ϕ — долгота.  
  • Сингулярности и асимптотика

    • Метрика имеет сингулярность при r = 0 и, возможно, на горизонте событий.  
    • Для r ≫ rs метрика асимптотически приближается к стандартной метрике Минковского.  
    • Для большинства астрономических объектов r/rS очень мало, что делает сингулярности несущественными.  
  • История и развитие

    • Решение названо в честь Карла Шварцшильда, который нашел его в 1915 году.  
    • В 1916 году решение было независимо получено Йоханнесом Дростеном.  
    • В 1921 году Пол Пайнлеве и в 1922 году Алвар Гулльстранд независимо предложили метрику без сингулярности на горизонте событий.  
  • История открытия сингулярности

    • В 1924 году Артур Эддингтон показал, что сингулярность при r = rs является координатным артефактом.  
    • В 1932 году Жорж Лемэтр также показал, что сингулярность не является физической.  
    • В 1939 году Говард Робертсон доказал, что сингулярность можно пересечь за конечное время.  
    • В 1950 году Джон Синдж показал, что сингулярность представляет собой два горизонта.  
  • Математическое обоснование

    • В 1960-х годах математически точная формулировка общей теории относительности позволила определить сингулярность как горизонт событий.  
    • Сингулярность при r = 0 является истинной физической сингулярностью, а при r = rs — координатной.  
  • Альтернативные координаты

    • Существуют различные координаты, такие как координаты Лемэтра, Эддингтона-Финкельштейна, Крускала-Шекереса и другие, которые показывают разные аспекты решения.  
    • Координаты Крускала-Шекереса позволяют выразить решение в форме гравитационного солитона.  
  • Визуализация пространственной кривизны

    • Пространственная кривизна решения может быть визуализирована с помощью параболоида Фламма.  
    • Параболоид Фламма полезен для понимания пространственной кривизны, но не является гравитационной ямой.  
  • Орбитальное движение

    • В Schwarzschild метрике возможны стабильные круговые орбиты при r > 3rs.  
    • Орбиты при r между 1.5rs и 3rs нестабильны, а при r < 1.5rs не существуют.  
    • Орбитальная скорость при r = 1.5rs приближается к скорости света.  
  • Экзотические орбиты

    • Между случаем Меркурия и падением за горизонт событий существуют орбиты по острию ножа.  
    • Спутник может совершать почти круговые обороты, после чего возвращается в исходное положение.  
  • Симметрии метрики Шварцшильда

    • Группа изометрий метрики Шварцшильда: R × O(3) × {±1}.  
    • O(3) включает вращения и отражения в трех измерениях.  
    • R включает переводы времени.  
    • {±1} — группа, созданная путем обращения времени вспять.  
    • Группа имеет четыре измерения и четыре связанных компонента.  
  • Изгибы метрики

    • Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи равны нулю.  
    • Ненулевые составляющие тензора римановой кривизны: [25].  
    • Компоненты, полученные с помощью симметрий тензора Римана, не отображаются.  
    • В ортонормированном базисе наблюдателя ненулевые составляющие: [25].  
  • Уравнение геодезического отклонения

    • Приливное ускорение между наблюдателями: D2ξj^/Dτ2 = −R^jt^k^t^ξk^.  
    • Тело длиной L растягивается в радиальном направлении с ускорением (rs/r3)c2L.  
    • Тело сжимается в перпендикулярных направлениях с ускорением -(rs/(2r3))c2L.  
  • Дополнительные материалы

    • Вывод решения Шварцшильда.  
    • Метрика Рейсснера–Нордстрема.  
    • Метрика Керра.  
    • Метрика Керра–Ньюмана.  
    • Черная дыра, общий обзор.  
    • Координаты Шварцшильда.  
    • Координаты Крускаль–Секереш.  
    • Координаты Эддингтона–Финкельштейна.  
    • Координаты Гулльстранд–Пенлеве.  
    • Координаты Леметра.  
    • Рамочные поля в общей теории относительности.  
    • Уравнение Толмана–Оппенгеймера–Волкова.  
    • Планковская длина.  

Полный текст статьи:

Метрика Шварцшильда

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх