Принцип максимума
-
Принцип максимума в дифференциальных уравнениях
- Принцип максимума утверждает, что решения дифференциальных уравнений достигают своих максимумов на границе области.
- Принцип максимума позволяет получать информацию о решениях без явного знания самих решений.
- Применяется в численной аппроксимации и определении границ погрешностей.
-
Принцип слабого максимума
- Для любого открытого предкомпактного подмножества M области u максимум u при замыкании M достигается на границе M.
- Если u не является постоянной функцией, максимум не может быть достигнут нигде на M.
-
Принцип строгого максимума
- В области выпуклой оптимизации максимум выпуклой функции на компактном выпуклом множестве достигается на границе.
-
Интуиция и формулировка принципа строгого максимума
- Принцип строгого максимума основан на наблюдении, что если каждое собственное значение положительно, то вторые производные по направлению должны быть равны нулю.
- Это утверждение справедливо для линейно-эллиптических дифференциальных уравнений.
-
Неприменимость принципа строгого максимума
- Принцип строгого максимума не применим, если условие «балансировки» не является строгим неравенством.
- Примеры показывают, что функция −x2−y2 имеет максимум в любой открытой области.
-
Классический принцип слабого максимума для линейно-эллиптического PDE
- Если u максимизируется в точке p, то (du)(p) = 0 и (∇2u)(p) ≤ 0.
- Применимость принципа зависит от конкретного уравнения в частных производных.
-
Примеры и обобщения
- Принцип максимума применим к различным типам дифференциальных уравнений, включая нелокальные и гармонические функции.
- Принцип слабого максимума для гармонических функций утверждает, что максимум достигается на границе области.
-
Доказательство классического принципа строгого максимума
- Доказательство основано на существовании компактного подмножества Ω и непрерывной функции h.
- Выбор Ω и h позволяет получить противоречие с условием, что x0 является максимальной точкой u.
-
Принцип максимума Хопфа
- Принцип максимума Хопфа утверждает, что непостоянная функция C2 не достигает максимального значения на открытом множестве M.
- Для доказательства используется непрерывность функций и симметричность матрицы.
-
Формулировка теоремы
- Пусть M — открытое подмножество евклидова пространства ℝN.
- Для каждого i и j от 1 до n пусть aij и bi — непрерывные функции на M с aij = aji.
- Предположим, что для всех x в M симметричная матрица [aij] положительно определена.
- Если u — непостоянная функция C2 на M такая, что на M, то u не достигает максимального значения на M.
-
Ограничения и примеры
- Непрерывность функций ограничена компактными множествами, такими как сферическое кольцо.
- Существует число λ, такое, что для всех x в кольцевом пространстве матрица [aij(x)] имеет все собственные значения, большие или равные λ.
- Примеры, такие как y» + 2y = 0, показывают, что принцип максимума не распространяется на все линейные эллиптические уравнения второго порядка.
-
Исследования и приложения
- Принцип максимума Хопфа используется в римановой геометрии и дифференциальных уравнениях на римановых многообразиях.
- Принцип применяется в симметрии и связанных с ней свойствах, а также в нелинейных эллиптических уравнениях.
- Принцип максимума используется в различных областях, таких как экономика и управление.