Теорема Рао–Блэквелла
-
Теорема Рао–Блэквелла
- Преобразует грубую оценку в оптимальную по критерию среднеквадратичной ошибки.
- Условное математическое ожидание грубой оценки при заданной достаточной статистике является лучшей оценкой.
- Процесс преобразования называется Рао–блэквеллизацией.
-
Определения
- Оценщик δ(X) — наблюдаемая случайная величина для оценки ненаблюдаемой величины.
- Достаточная статистика T(X) — статистика, не предоставляющая дополнительной информации о ненаблюдаемой величине.
- Оценка δ1(X) Рао–Блэквелла — условное ожидаемое значение δ(X) при заданной T(X).
-
Среднеквадратичная ошибка
- Среднеквадратичная ошибка оценщика — ожидаемое значение квадрата отклонения от оцениваемой величины.
- Теорема Рао–Блэквелла утверждает, что среднеквадратичная ошибка оценки Рао–Блэквелла не хуже исходной оценки.
-
Обобщение выпуклых потерь
- Теорема обобщает на случай выпуклых функций потерь.
- Улучшенная оценка несмещена, если первоначальная оценка несмещена.
-
Пример
- Оценка вероятности отсутствия звонков в коммутаторе.
- Сумма количества звонков за n минут является достаточной статистикой.
- Оценка Рао–Блэквелла значительно улучшает грубую оценку.
-
Идемпотентность
- Рао–Блэквеллизация идемпотентна, не улучшает улучшенную оценку.
-
Полнота и минимальная дисперсия
- Если статистика условий полная и достаточная, оценка Рао–Блэквелла является наилучшей несмещенной оценкой.
- Пример Галили и Мейлийсона показывает, что минимальная достаточная статистика может быть улучшена.
-
Дополнительные результаты
- Теорема Басу — результат о полной достаточной и вспомогательной статистике.