Оглавление
- 1 Полярный набор
- 1.1 Определение полярного множества
- 1.2 Конкурирующие определения
- 1.3 Абсолютный полярный
- 1.4 Предполюсник
- 1.5 Биполярность
- 1.6 Действительный полюс
- 1.7 Реальный биполярный
- 1.8 Конкурирующие определения и эквивалентность
- 1.9 Специализация на канонической двойственности
- 1.10 Полярность подмножеств
- 1.11 Полярность в двойственном пространстве
- 1.12 Геометрическое определение конусов
- 1.13 Свойства полярности
- 1.14 Локально выпуклые TVS и поляры
- 1.15 Топологии и равнопрерывные подмножества
- 1.16 Свойства поляров
- 1.17 Операции с полярами
- 1.18 Полярные конусы
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Полярный набор – Arc.Ask3.Ru
Полярный набор
-
Определение полярного множества
- Полярное множество A∘ — это выпуклое множество, связанное с подмножеством A из векторного пространства X.
- Биполярность подмножества — это полярность A∘, но лежащая в X.
-
Конкурирующие определения
- Существует три конкурирующих определения полярности множества.
- В статье используется определение абсолютного полярника.
-
Абсолютный полярный
- Полярный или абсолютный полюс подмножества A от X — это набор y ∈ Y, таких что sup a∈A |⟨a, y⟩| ≤ 1.
- Это аффинный сдвиг геометрического определения.
-
Предполюсник
- Предполюсник подмножества B от Y — это набор x ∈ X, таких что sup b∈B |⟨x, b⟩| ≤ 1.
- Часто называется полярным или абсолютным полюсом B и обозначается B∘.
-
Биполярность
- Биполярность подмножества A от X — это набор ∘(A∘), то есть {x ∈ X, таких что sup y∈A∘ |⟨x, y⟩| ≤ 1}.
-
Действительный полюс
- Действительный полюс подмножества A от X — это набор y ∈ Y, таких что sup a∈A Re⟨a, y⟩ ≤ 1.
- Реальный преполяр подмножества B от Y — это набор x ∈ X, таких что sup b∈B Re⟨x, b⟩ ≤ 1.
-
Реальный биполярный
- Реальный биполярный элемент подмножества A от X — это набор r(A∘), что равно σ(X, Y)-закрытие выпуклой оболочки A ∪ {0}.
-
Конкурирующие определения и эквивалентность
- Различные определения полярности множества могут быть эквивалентны в определенных условиях.
- Все определения согласуются, когда A сбалансировано.
-
Специализация на канонической двойственности
- Алгебраическое двойственное пространство X# — это множество всех линейных функционалов на X.
- Векторное пространство X# всегда является замкнутым подмножеством пространства K^X из всех K.
-
Полярность подмножеств
- Полярность подмножества A ⊆ X определяется как A∘ = {x′ ∈ X′: sup_{a ∈ A} |x′(a)| ≤ 1}.
- Если A является поглощающим подмножеством, то A∘ является слабо-* компактным подмножеством X′.
- Если A удовлетворяет sA ⊆ A для всех скаляров s единичной длины, то A∘ = Ar.
-
Полярность в двойственном пространстве
- Полярность подмножества B ⊆ Y = X′ определяется как ∘B = {x ∈ X: sup_{b′ ∈ B} |b′(x)| ≤ 1}.
- Если B удовлетворяет sB ⊆ B для всех скаляров s единичной длины, то ∘B = Br.
-
Геометрическое определение конусов
- Полярный конус выпуклого конуса A ⊆ X определяется как A∘ = {y ∈ Y: sup_{x ∈ A} ⟨x, y⟩ ≤ 0}.
- Полярная гиперплоскость точки x ∈ X является локусом {y: ⟨y, x⟩ = 0}.
-
Свойства полярности
- Полярность множества выпукла и сбалансирована.
- Настоящий полярник Ar из подмножества A от X является выпуклым, но не обязательно сбалансированным.
- Если sA ⊆ A для всех скаляров s единичной длины, то A∘ = Ar.
- A∘ закрыт в Y в рамках слабой*-топологии на Y.
- Подмножество S от X слабо ограничено тогда и только тогда, когда S∘ поглощает в Y.
- Для двойной пары ⟨X, X′⟩, если B ⊆ X ограничен, то B∘ поглощает в X′.
- Если X локально выпукло и B∘ поглощает в X′, то B ограничен в X.
- Аналогично, двудольный конус конуса A является σ(X, Y)-замкнутым коническим корпусом из A.
- Если B является основой в начале координат для телевизора X, то X′ = ⋃ B.
-
Локально выпуклые TVS и поляры
- Локально выпуклое TVS X имеет поляры, которые формируют базу окрестностей начала координат.
- Поляры любого фундаментального семейства равнопрерывных подмножеств X формируют базу окрестностей начала координат в X.
-
Топологии и равнопрерывные подмножества
- Топология τ является локально выпуклой топологией TVS тогда и только тогда, когда она является топологией равномерной сходимости на равнопрерывных подмножествах X.
- Равнопрерывные подмножества содержат всю информацию о локально выпуклом пространстве X.
-
Свойства поляров
- Поляры удовлетворяют определенным соотношениям, таким как X∘ = X|r| = Xr = {0} и ∅∘ = ∅|r| = ∅r = Y.
- Для всех скаляров s ≠ 0, (sA)∘ = 1/s(A∘), и для всех настоящих t ≠ 0, (tA)∘ = 1/t(A∘) и (tA)r = 1/t(Ar).
- A∘∘∘ = A∘, но для реального поляра Arrr ⊆ Ar.
-
Операции с полярами
- Для конечного набора множеств A1, …, An, (A1 ∩ … ∩ An)∘ = (A1∘) ∪ … ∪ (An∘).
- Непосредственным следствием является, что ⋃i∈I(A∘i) ⊆ (⋂i∈I Ai)∘, равенство выполняется для конечного I и может не выполняться для бесконечного I.
- ⋂i∈I(A∘i) = (⋃i∈I Ai)∘ и ⋂i∈I(Ar) = (⋃i∈I Ai)r.
-
Полярные конусы
- Если C является конусом в X, то C∘ = {y ∈ Y: ⟨c, y⟩ = 0 для всех c ∈ C}.
- Для замкнутого выпуклого конуса C в реальном векторном пространстве X, полярный конус C∘ = {y ∈ Y: отхлебывать⟨C, y⟩ ≤ 0}, где отхлебывать⟨C, y⟩ := отхлебыватьc∈C ⟨c, y⟩.