Конечно порожденный модуль

• Определение и свойства модулей

  • Модуль — это векторное пространство над кольцом, где операции сложения и умножения определены с помощью кольца. 
  • Модуль является абелевым, если умножение коммутативно и ассоциативно. 
  • Модуль является проективным, если он является прямым произведением циклических модулей. 
  • Модуль является плоским, если он является прямым произведением свободных модулей. 

• Характеристики модулей

  • Модуль является конечно порожденным, если он имеет конечное число базисных элементов. 
  • Модуль является конечно связанным, если его ядро является конечно порожденным. 
  • Модуль является конечно представленным, если он имеет конечное число образующих и соотношений. 
  • Модуль является когерентным, если все его конечно порожденные подмодули конечно представлены. 

• Двойственность условий

  • Модуль является нетеровым тогда и только тогда, когда каждый его подмодуль является конечно порожденным. 
  • Модуль является артиновым тогда и только тогда, когда каждый его факторный модуль является конечно связанным. 
  • Модуль является f.g. тогда и только тогда, когда его радикал Якобсона является избыточным подмодулем, а его модуль над радикалом является конечно связанным. 
  • Модуль является f.винтиком тогда и только тогда, когда его цоколь soc является существенным подмодулем, а его модуль над цоколем является конечно связанным. 

• Примеры и свойства

  • Конечно порожденные модули должны иметь конечные однородные размеры. 
  • Конечно порожденные модули не обязательно имеют конечную однородную размерность, например, бесконечное прямое произведение колец. 
  • Конечно представленные модули являются компактными объектами в категории R-модулей. 
  • Когерентные модули являются когерентными объектами в абелевой категории. 

• Эквивалентности и категории

  • Нетерово кольцо и конечно порожденный модуль эквивалентны. 
  • Конечно связанные и конечно представленные модули эквивалентны для нетеровых колец. 
  • Когерентность является более сильным условием, чем конечно порожденные или конечно представленные модули. 

• Рекомендации и учебные материалы

  • Статья содержит список учебных материалов и рекомендаций по теме.