Топологическое векторное пространство

Оглавление1 Топологическое векторное пространство1.1 Определение топологического векторного пространства1.2 Примеры TVS1.3 Ненормированные TVS1.4 Категория и морфизмы TVS1.5 Необходимое условие для векторной […]

Оглавление

Топологическое векторное пространство

  • Определение топологического векторного пространства

    • Топологическое векторное пространство (TVS) — это векторное пространство с топологией, где сложение и скалярное умножение являются непрерывными функциями.  
    • Топология называется векторной топологией.  
    • TVS обладают однородной топологической структурой, позволяющей говорить о равномерной сходимости и полноте.  
  • Примеры TVS

    • Банаховы пространства, гильбертовы пространства и пространства Соболева являются примерами TVS.  
    • Пространства функций и линейных операторов также являются TVS.  
  • Ненормированные TVS

    • Существуют TVS, топология которых не индуцируется нормой, но все еще важны для анализа.  
    • Примеры: пространства голоморфных функций, бесконечно дифференцируемых функций, Шварца и тестовых функций.  
  • Категория и морфизмы TVS

    • Категория TVS обозначается TVS или TVect.  
    • Объекты — топологические векторные пространства над заданным топологическим полем.  
    • Морфизмы — непрерывные линейные отображения между TVS.  
  • Необходимое условие для векторной топологии

    • Коллекция подмножеств векторного пространства называется аддитивной, если для каждого N существует U такое, что U + U ⊆ N.  
    • Карта сложения непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат аддитивно.  
  • Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

    • Каждая векторная топология инвариантна к трансляции.  
    • Для определения векторной топологии достаточно определить базис окрестности в начале координат.  
    • Теорема утверждает, что аддитивный набор сбалансированных и поглощающих подмножеств является базой окрестности в начале координат.  
  • Определение топологий с помощью строк

    • Последовательность подмножеств называется суммирующей, если Ui+1 + Ui+1 ⊆ Ui для каждого i.  
    • Последовательность называется сбалансированной, если это верно для каждого Ui.  
    • Последовательность называется строкой, если она суммирующая, поглощающая и сбалансированная.  
    • Топологическая строка — это строка, каждый узел которой является окрестностью начала координат.  
  • Естественная цепочка множеств

    • Последовательность множеств Ui образует строку, начинающуюся с U1 = U.  
    • Каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку, если векторное пространство имеет счетную размерность.  
  • Субаддитивные функции

    • Суммирующие последовательности множеств определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции.  
    • Эти функции могут быть использованы для доказательства свойств топологических векторных пространств.  
  • Теорема о R-многозначной функции

    • Пусть U∙ = (Ui)i=0∞ быть набором подмножеств векторного пространства.  
    • Определяется функция f: X → [0,1], которая является субаддитивной и непрерывной.  
    • Если все Ui являются симметричными множествами, то f(x) = f(-x).  
    • Если все Ui сбалансированы, то f(sx) ≤ f(x) для всех скаляров s.  
    • Если X является топологическим векторным пространством и все Ui являются окрестностями, то f является непрерывной метрикой.  
  • Направленные вниз множества

    • Множество S называется направленным вниз, если для всех U∙, V∙ ∈ S существует W∙ ∈ S такой, что W∙ ⊆ U∙ и W∙ ⊆ V∙.  
    • Обозначение: Узлы S = ⋃ U∙ ∈ S Узлы U∙.  
  • Топология, индуцированная строками

    • Если (X, τ) является топологическим векторным пространством, то существует направленный вниз набор строк S, такой, что Узлы S является основой соседства в начале координат для (X, τ).  
    • Если S является набором всех топологических строк в TVS (X, τ), то τS = τ.  
  • Топологическая структура

    • Векторное пространство является абелевой топологической группой.  
    • Все TVS абсолютно обычные, но не обязательно обычные.  
    • Частное пространство X/M является хаусдорфовым топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда M замкнуто.  
  • Инвариантность векторных топологий

    • Каждая векторная топология инвариантна к трансляции.  
    • Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом.  
    • Если x ∈ X и S ⊆ X, то clX(x + S) = x + clX(S).  
  • Местные представления

    • Подмножество E называется поглощающим, если для каждого x ∈ X существует r > 0 такое, что cx ∈ E для всех c с |c| ≤ r.  
    • Подмножество E называется сбалансированным, если tE ⊆ E для всех t с |t| ≤ 1.  
    • Подмножество E называется выпуклым, если tE + (1-t)E ⊆ E для всех 0 ≤ t ≤ 1.  
    • Подмножество E называется круглым или абсолютно выпуклым, если оно выпукло и сбалансировано.  
    • Подмножество E называется симметричным, если −E ⊆ E или −E = E.  
  • Ограниченные подмножества

    • Подмножество E из топологического векторного пространства X называется ограниченным, если существует конечное подмножество F ⊆ X такое, что E ⊆ F.  
  • Ограниченность множеств

    • Множество ограничено, если для каждой окрестности существует t такое, что E ⊆ tV.  
    • Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено.  
    • Множество ограничено, если каждая его подпоследовательность ограничена.  
    • Множество ограничено, если для каждой сбалансированной окрестности существует t такое, что E ⊆ tV.  
    • Локально выпуклое множество ограничено, если каждая непрерывная полунорма ограничена.  
  • Метризация и нормируемость

    • Теорема Биркгофа-Какутани: если (X, τ) является топологическим векторным пространством, то существуют эквивалентные метрики.  
    • TVS является псевдометризуемым, если имеет счетный базис окрестности в начале координат.  
    • TVS поддается метризации, если является хаусдорфовым и псевдометризуемым.  
    • TVS нормируемо, если его топология может быть индуцирована нормой.  
  • Полнота и однородная структура

    • Каноническая однородность на TVS индуцирует топологию.  
    • TVS является тихоновым, если является хаусдорфовым.  
    • Подмножество TVS компактно, если оно полное и полностью ограниченное.  
    • Последовательность Коши ограничена, но сети Коши могут быть не ограничены.  
    • TVS, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным.  
    • Операция сложения в векторном пространстве равномерно непрерывна.  
    • Скалярное умножение непрерывно по Коши, но не равномерно непрерывно.  
    • Каждый TVS имеет завершение, и каждый TVS Хаусдорфа имеет хаусдорфово завершение.  
  • Примеры топологий

    • Тривиальная топология всегда является топологией TVS.  
    • Наилучшая векторная топология лучше любой другой топологии TVS.  
    • Декартово произведение топологических векторных пространств является топологическим векторным пространством.  
    • Конечномерные пространства имеют уникальную хаусдорфову векторную топологию.  
  • Векторная топология Хаусдорфа

    • Векторная топология Хаусдорфа является лучшей векторной топологией на X.  
    • X имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда dim X = 0.  
    • Если dim X ≠ 0, то X имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа.  
  • Тривиальная топология

    • Тривиальная топология векторного пространства является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность 0.  
    • Поле K само по себе является 1-мерным топологическим векторным пространством над K.  
  • Дихотомия топологий

    • Векторная топология либо тривиальна, либо изоморфна K.  
    • Доказательство дихотомии простое и включает использование шаров и непрерывности скалярного умножения.  
  • Полунормы и топологии

    • Каждая линейная функциональная f на X вызывает полунорму |f|.  
    • Полунормы с различными ядрами индуцируют различные векторные топологии.  
    • Существует 1 + dim X векторных топологий на X.  
  • Невекторные топологии

    • Дискретная и кофинитная топологии не являются топологиями TVS.  
    • Линейные операторы между топологическими векторными пространствами непрерывны, если они ограничены.  
  • Типы топологических векторных пространств

    • F-пространства: полные топологические векторные пространства с метрикой, инвариантной к перемещению.  
    • Локально выпуклые топологические векторные пространства: каждая точка имеет локальную базу из выпуклых множеств.  
    • Бочкообразные пространства: локально выпуклые пространства с теоремой Банаха-Штайнхауса.  
    • Борнологические пространства: локально выпуклые пространства, где непрерывные линейные операторы ограничены.  
    • Стереотипные пространства: локально выпуклые пространства с топологией равномерной сходимости на полностью ограниченных множествах.  
    • Пространства Монтеля: замкнутые пространства, где каждое замкнутое и ограниченное множество компактно.  
    • Пространства Фреше: полные локально выпуклые пространства с метрикой, инвариантной к трансляции.  
    • LF-пространства: пределы пространств Фреше.  
    • Пространства ILH: обратные пределы гильбертовых пространств.  
    • Ядерные пространства: локально выпуклые пространства с ограниченными отображениями в банаховы пространства.  
    • Нормированные пространства и полунормативные пространства: локально выпуклые пространства с одной нормой или полунормой.  
    • Банаховы пространства: полные нормированные векторные пространства.  
    • Рефлексивные банаховы пространства: банаховы пространства, изоморфные своим двойственным двойникам.  
  • Гильбертовы пространства

    • Имеют внутреннее произведение  
    • Могут быть бесконечномерными  
    • Примеры: L2, W2,k, труднодоступные места  
  • Евклидовы пространства

    • Rn или Cn с топологией, индуцированной внутренним произведением  
    • Для конечного n существует только одно n-мерное топологическое векторное пространство  
    • Хаусдорфово пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно  
  • Двойное пространство

    • Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство  
    • Топология на двойственном пространстве называется слабой* топологией  
    • Двойственное пространство локально выпукло  
  • Свойства

    • Выпуклый корпус множества S является наименьшим подмножеством, обладающим этим свойством и содержащим S  
    • Пересечение выпуклых множеств выпукло, выпуклая оболочка подмножества равна пересечению всех выпуклых множеств, его содержащих  
  • Кварталы и открытые площадки

    • Каждый TVS подключен и подключен локально  
    • Открытые выпуклые подмножества TVS имеют форму z + {x ∈ X: p(x) < 1}  
    • Если K является поглощающим диском, то IntX(K) ⊆ {x ∈ X: p(x) < 1} ⊆ K ⊆ {x ∈ X: p(x) ≤ 1} ⊆ clX(K)  
  • Интерьер

    • Если S имеет непустое внутреннее пространство, то IntX(S) = IntX(clX(S)) и clX(S) = clX(IntX(S))  
    • Топологическая внутренняя часть диска не пуста тогда и только тогда, когда она содержит начало координат  
    • Если S сбалансированный гарнитур с непустым интерьером, то {0} ∪ IntX(S) сбалансирован  
  • Заключение

    • 0 ∈ IntX(S) может быть ложным, если S не выпукло  
    • Если C выпукло и 0 < t ≤ 1, то tIntC + (1-t)clC ⊆ IntC  
    • Если N сбалансированная окрестность источника, то IntX(N) ⊆ B1N  
    • Если x ∈ IntX(S) и y ∈ clX(S), то [x,y) ⊆ IntX(S), если x ≠ y, и [x,x) = ∅, если x = y  
  • Пересечения формы N ∩ Rx

    • Пересечения формы N ∩ Rx являются выпуклыми симметричными окрестностями 0 в Rx.  
    • Если x ∈ Int N и r := отхлебывать{r > 0: [0, r)x ⊆ N}, то r > 1 и [0, r)x ⊆ Int N.  
    • Если r ≠ ∞, то rx ∈ cl N ∖ Int N.  
  • Негаусдорфовы пространства и замыкание начала координат

    • Топологическое векторное пространство X является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда {0} является замкнутым подмножеством X.  
    • Замыкание начала координат в X называется замыканием источника в X.  
    • Замыкание источника в X удовлетворяет cl X ⁡{0} = ⋂N ∈ N(0)N.  
    • Каждое подмножество cl X ⁡{0} также обладает тривиальной топологией и является компактным.  
    • Если X не является Хаусдорфовым, существуют подмножества, которые являются компактными и полными, но не замкнутыми.  
  • Компактные и полностью ограниченные множества

    • Подмножество TVS является компактным тогда и только тогда, когда оно является полным и полностью ограниченным.  
    • Каждое относительно компактное множество полностью ограничено.  
    • Изображение полностью ограниченного множества под равномерно непрерывным отображением также полностью ограничено.  
  • Закрытие и закрытый набор

    • Замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества обладает этими же свойствами.  
    • Замыкание векторного подпространства TVS является векторным подпространством.  
    • Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута.  
    • Сумма компактного множества и замкнутого множества также замкнута.  
    • Каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества является замкнутым.  
    • Если S ⊆ X и S + S ⊆ 2cl X ⁡S, то cl X ⁡S является выпуклым.  
    • Если R, S ⊆ X, то cl X ⁡(R) + cl X ⁡(S) ⊆ cl X ⁡(R + S) и cl X ⁡[cl X ⁡(R) + cl X ⁡(S)] = cl X ⁡(R + S).  
    • Если X это настоящий телевизор и S ⊆ X, то ⋂r > 1 rS ⊆ cl X ⁡S.  
    • Для любого подмножества S ⊆ X, cl X ⁡S = ⋂N ∈ N(S + N).  
  • Основы соседства

    • Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замкнутости выпуклой оболочки этого множества.  
    • Замкнутая сбалансированная оболочка множества равна замкнутости сбалансированной оболочки этого множества.  
    • Замкнутая дисковая оболочка множества равна закрытию дисковой оболочки этого множества.  
  • Компактность и замкнутость

    • Замкнутая выпуклая оболочка компактного множества может не быть компактной.  
    • Сбалансированная оболочка компактного множества обладает тем же свойством.  
    • Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова является компактной и выпуклой.  
  • Алгебраические факты и заблуждения

    • Если S ⊆ X, то 2S ⊆ S + S; если S выпукло, то выполняется равенство.  
    • Подмножество C является выпуклым тогда и только тогда, когда (s + t)C = sC + tC для всех положительных реальных s и t.  
    • Выпуклая сбалансированная оболочка множества S равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки S.  
  • Другие свойства

    • В любом нетривиальном векторном пространстве X существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых является X.  
    • Каждая топология TVS может быть сгенерирована семейством F-полунорм.  
    • Если P(x) является унарным предикатом, то для любого z ∈ X, z + {x ∈ X: P(x)} = {x ∈ X: P(x — z)}.  
  • Свойства, сохраняемые операторами

    • Сумма двух компактных множеств обладает тем же свойством.  
    • Выпуклая оболочка сбалансированного множества сбалансирована.  
    • Выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно замкнута.  
    • Выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно ограничена.  

Полный текст статьи:

Топологическое векторное пространство

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх