Оглавление
- 1 Топологическое векторное пространство
- 1.1 Определение топологического векторного пространства
- 1.2 Примеры TVS
- 1.3 Ненормированные TVS
- 1.4 Категория и морфизмы TVS
- 1.5 Необходимое условие для векторной топологии
- 1.6 Определение топологий с использованием окрестностей начала координат
- 1.7 Определение топологий с помощью строк
- 1.8 Естественная цепочка множеств
- 1.9 Субаддитивные функции
- 1.10 Теорема о R-многозначной функции
- 1.11 Направленные вниз множества
- 1.12 Топология, индуцированная строками
- 1.13 Топологическая структура
- 1.14 Инвариантность векторных топологий
- 1.15 Местные представления
- 1.16 Ограниченные подмножества
- 1.17 Ограниченность множеств
- 1.18 Метризация и нормируемость
- 1.19 Полнота и однородная структура
- 1.20 Примеры топологий
- 1.21 Векторная топология Хаусдорфа
- 1.22 Тривиальная топология
- 1.23 Дихотомия топологий
- 1.24 Полунормы и топологии
- 1.25 Невекторные топологии
- 1.26 Типы топологических векторных пространств
- 1.27 Гильбертовы пространства
- 1.28 Евклидовы пространства
- 1.29 Двойное пространство
- 1.30 Свойства
- 1.31 Кварталы и открытые площадки
- 1.32 Интерьер
- 1.33 Заключение
- 1.34 Пересечения формы N ∩ Rx
- 1.35 Негаусдорфовы пространства и замыкание начала координат
- 1.36 Компактные и полностью ограниченные множества
- 1.37 Закрытие и закрытый набор
- 1.38 Основы соседства
- 1.39 Компактность и замкнутость
- 1.40 Алгебраические факты и заблуждения
- 1.41 Другие свойства
- 1.42 Свойства, сохраняемые операторами
- 1.43 Полный текст статьи:
- 2 Топологическое векторное пространство
Топологическое векторное пространство
-
Определение топологического векторного пространства
- Топологическое векторное пространство (TVS) — это векторное пространство с топологией, где сложение и скалярное умножение являются непрерывными функциями.
- Топология называется векторной топологией.
- TVS обладают однородной топологической структурой, позволяющей говорить о равномерной сходимости и полноте.
-
Примеры TVS
- Банаховы пространства, гильбертовы пространства и пространства Соболева являются примерами TVS.
- Пространства функций и линейных операторов также являются TVS.
-
Ненормированные TVS
- Существуют TVS, топология которых не индуцируется нормой, но все еще важны для анализа.
- Примеры: пространства голоморфных функций, бесконечно дифференцируемых функций, Шварца и тестовых функций.
-
Категория и морфизмы TVS
- Категория TVS обозначается TVS или TVect.
- Объекты — топологические векторные пространства над заданным топологическим полем.
- Морфизмы — непрерывные линейные отображения между TVS.
-
Необходимое условие для векторной топологии
- Коллекция подмножеств векторного пространства называется аддитивной, если для каждого N существует U такое, что U + U ⊆ N.
- Карта сложения непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат аддитивно.
-
Определение топологий с использованием окрестностей начала координат
- Каждая векторная топология инвариантна к трансляции.
- Для определения векторной топологии достаточно определить базис окрестности в начале координат.
- Теорема утверждает, что аддитивный набор сбалансированных и поглощающих подмножеств является базой окрестности в начале координат.
-
Определение топологий с помощью строк
- Последовательность подмножеств называется суммирующей, если Ui+1 + Ui+1 ⊆ Ui для каждого i.
- Последовательность называется сбалансированной, если это верно для каждого Ui.
- Последовательность называется строкой, если она суммирующая, поглощающая и сбалансированная.
- Топологическая строка — это строка, каждый узел которой является окрестностью начала координат.
-
Естественная цепочка множеств
- Последовательность множеств Ui образует строку, начинающуюся с U1 = U.
- Каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку, если векторное пространство имеет счетную размерность.
-
Субаддитивные функции
- Суммирующие последовательности множеств определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции.
- Эти функции могут быть использованы для доказательства свойств топологических векторных пространств.
-
Теорема о R-многозначной функции
- Пусть U∙ = (Ui)i=0∞ быть набором подмножеств векторного пространства.
- Определяется функция f: X → [0,1], которая является субаддитивной и непрерывной.
- Если все Ui являются симметричными множествами, то f(x) = f(-x).
- Если все Ui сбалансированы, то f(sx) ≤ f(x) для всех скаляров s.
- Если X является топологическим векторным пространством и все Ui являются окрестностями, то f является непрерывной метрикой.
-
Направленные вниз множества
- Множество S называется направленным вниз, если для всех U∙, V∙ ∈ S существует W∙ ∈ S такой, что W∙ ⊆ U∙ и W∙ ⊆ V∙.
- Обозначение: Узлы S = ⋃ U∙ ∈ S Узлы U∙.
-
Топология, индуцированная строками
- Если (X, τ) является топологическим векторным пространством, то существует направленный вниз набор строк S, такой, что Узлы S является основой соседства в начале координат для (X, τ).
- Если S является набором всех топологических строк в TVS (X, τ), то τS = τ.
-
Топологическая структура
- Векторное пространство является абелевой топологической группой.
- Все TVS абсолютно обычные, но не обязательно обычные.
- Частное пространство X/M является хаусдорфовым топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда M замкнуто.
-
Инвариантность векторных топологий
- Каждая векторная топология инвариантна к трансляции.
- Скалярное умножение на ненулевой скаляр является TVS-изоморфизмом.
- Если x ∈ X и S ⊆ X, то clX(x + S) = x + clX(S).
-
Местные представления
- Подмножество E называется поглощающим, если для каждого x ∈ X существует r > 0 такое, что cx ∈ E для всех c с |c| ≤ r.
- Подмножество E называется сбалансированным, если tE ⊆ E для всех t с |t| ≤ 1.
- Подмножество E называется выпуклым, если tE + (1-t)E ⊆ E для всех 0 ≤ t ≤ 1.
- Подмножество E называется круглым или абсолютно выпуклым, если оно выпукло и сбалансировано.
- Подмножество E называется симметричным, если −E ⊆ E или −E = E.
-
Ограниченные подмножества
- Подмножество E из топологического векторного пространства X называется ограниченным, если существует конечное подмножество F ⊆ X такое, что E ⊆ F.
-
Ограниченность множеств
- Множество ограничено, если для каждой окрестности существует t такое, что E ⊆ tV.
- Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено.
- Множество ограничено, если каждая его подпоследовательность ограничена.
- Множество ограничено, если для каждой сбалансированной окрестности существует t такое, что E ⊆ tV.
- Локально выпуклое множество ограничено, если каждая непрерывная полунорма ограничена.
-
Метризация и нормируемость
- Теорема Биркгофа-Какутани: если (X, τ) является топологическим векторным пространством, то существуют эквивалентные метрики.
- TVS является псевдометризуемым, если имеет счетный базис окрестности в начале координат.
- TVS поддается метризации, если является хаусдорфовым и псевдометризуемым.
- TVS нормируемо, если его топология может быть индуцирована нормой.
-
Полнота и однородная структура
- Каноническая однородность на TVS индуцирует топологию.
- TVS является тихоновым, если является хаусдорфовым.
- Подмножество TVS компактно, если оно полное и полностью ограниченное.
- Последовательность Коши ограничена, но сети Коши могут быть не ограничены.
- TVS, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным.
- Операция сложения в векторном пространстве равномерно непрерывна.
- Скалярное умножение непрерывно по Коши, но не равномерно непрерывно.
- Каждый TVS имеет завершение, и каждый TVS Хаусдорфа имеет хаусдорфово завершение.
-
Примеры топологий
- Тривиальная топология всегда является топологией TVS.
- Наилучшая векторная топология лучше любой другой топологии TVS.
- Декартово произведение топологических векторных пространств является топологическим векторным пространством.
- Конечномерные пространства имеют уникальную хаусдорфову векторную топологию.
-
Векторная топология Хаусдорфа
- Векторная топология Хаусдорфа является лучшей векторной топологией на X.
- X имеет уникальную векторную топологию тогда и только тогда, когда dim X = 0.
- Если dim X ≠ 0, то X имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа.
-
Тривиальная топология
- Тривиальная топология векторного пространства является хаусдорфовой тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность 0.
- Поле K само по себе является 1-мерным топологическим векторным пространством над K.
-
Дихотомия топологий
- Векторная топология либо тривиальна, либо изоморфна K.
- Доказательство дихотомии простое и включает использование шаров и непрерывности скалярного умножения.
-
Полунормы и топологии
- Каждая линейная функциональная f на X вызывает полунорму |f|.
- Полунормы с различными ядрами индуцируют различные векторные топологии.
- Существует 1 + dim X векторных топологий на X.
-
Невекторные топологии
- Дискретная и кофинитная топологии не являются топологиями TVS.
- Линейные операторы между топологическими векторными пространствами непрерывны, если они ограничены.
-
Типы топологических векторных пространств
- F-пространства: полные топологические векторные пространства с метрикой, инвариантной к перемещению.
- Локально выпуклые топологические векторные пространства: каждая точка имеет локальную базу из выпуклых множеств.
- Бочкообразные пространства: локально выпуклые пространства с теоремой Банаха-Штайнхауса.
- Борнологические пространства: локально выпуклые пространства, где непрерывные линейные операторы ограничены.
- Стереотипные пространства: локально выпуклые пространства с топологией равномерной сходимости на полностью ограниченных множествах.
- Пространства Монтеля: замкнутые пространства, где каждое замкнутое и ограниченное множество компактно.
- Пространства Фреше: полные локально выпуклые пространства с метрикой, инвариантной к трансляции.
- LF-пространства: пределы пространств Фреше.
- Пространства ILH: обратные пределы гильбертовых пространств.
- Ядерные пространства: локально выпуклые пространства с ограниченными отображениями в банаховы пространства.
- Нормированные пространства и полунормативные пространства: локально выпуклые пространства с одной нормой или полунормой.
- Банаховы пространства: полные нормированные векторные пространства.
- Рефлексивные банаховы пространства: банаховы пространства, изоморфные своим двойственным двойникам.
-
Гильбертовы пространства
- Имеют внутреннее произведение
- Могут быть бесконечномерными
- Примеры: L2, W2,k, труднодоступные места
-
Евклидовы пространства
- Rn или Cn с топологией, индуцированной внутренним произведением
- Для конечного n существует только одно n-мерное топологическое векторное пространство
- Хаусдорфово пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно
-
Двойное пространство
- Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство
- Топология на двойственном пространстве называется слабой* топологией
- Двойственное пространство локально выпукло
-
Свойства
- Выпуклый корпус множества S является наименьшим подмножеством, обладающим этим свойством и содержащим S
- Пересечение выпуклых множеств выпукло, выпуклая оболочка подмножества равна пересечению всех выпуклых множеств, его содержащих
-
Кварталы и открытые площадки
- Каждый TVS подключен и подключен локально
- Открытые выпуклые подмножества TVS имеют форму z + {x ∈ X: p(x) < 1}
- Если K является поглощающим диском, то IntX(K) ⊆ {x ∈ X: p(x) < 1} ⊆ K ⊆ {x ∈ X: p(x) ≤ 1} ⊆ clX(K)
-
Интерьер
- Если S имеет непустое внутреннее пространство, то IntX(S) = IntX(clX(S)) и clX(S) = clX(IntX(S))
- Топологическая внутренняя часть диска не пуста тогда и только тогда, когда она содержит начало координат
- Если S сбалансированный гарнитур с непустым интерьером, то {0} ∪ IntX(S) сбалансирован
-
Заключение
- 0 ∈ IntX(S) может быть ложным, если S не выпукло
- Если C выпукло и 0 < t ≤ 1, то tIntC + (1-t)clC ⊆ IntC
- Если N сбалансированная окрестность источника, то IntX(N) ⊆ B1N
- Если x ∈ IntX(S) и y ∈ clX(S), то [x,y) ⊆ IntX(S), если x ≠ y, и [x,x) = ∅, если x = y
-
Пересечения формы N ∩ Rx
- Пересечения формы N ∩ Rx являются выпуклыми симметричными окрестностями 0 в Rx.
- Если x ∈ Int N и r := отхлебывать{r > 0: [0, r)x ⊆ N}, то r > 1 и [0, r)x ⊆ Int N.
- Если r ≠ ∞, то rx ∈ cl N ∖ Int N.
-
Негаусдорфовы пространства и замыкание начала координат
- Топологическое векторное пространство X является Хаусдорфом тогда и только тогда, когда {0} является замкнутым подмножеством X.
- Замыкание начала координат в X называется замыканием источника в X.
- Замыкание источника в X удовлетворяет cl X {0} = ⋂N ∈ N(0)N.
- Каждое подмножество cl X {0} также обладает тривиальной топологией и является компактным.
- Если X не является Хаусдорфовым, существуют подмножества, которые являются компактными и полными, но не замкнутыми.
-
Компактные и полностью ограниченные множества
- Подмножество TVS является компактным тогда и только тогда, когда оно является полным и полностью ограниченным.
- Каждое относительно компактное множество полностью ограничено.
- Изображение полностью ограниченного множества под равномерно непрерывным отображением также полностью ограничено.
-
Закрытие и закрытый набор
- Замыкание любого выпуклого, сбалансированного и поглощающего подмножества обладает этими же свойствами.
- Замыкание векторного подпространства TVS является векторным подпространством.
- Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута.
- Сумма компактного множества и замкнутого множества также замкнута.
- Каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества является замкнутым.
- Если S ⊆ X и S + S ⊆ 2cl X S, то cl X S является выпуклым.
- Если R, S ⊆ X, то cl X (R) + cl X (S) ⊆ cl X (R + S) и cl X [cl X (R) + cl X (S)] = cl X (R + S).
- Если X это настоящий телевизор и S ⊆ X, то ⋂r > 1 rS ⊆ cl X S.
- Для любого подмножества S ⊆ X, cl X S = ⋂N ∈ N(S + N).
-
Основы соседства
- Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замкнутости выпуклой оболочки этого множества.
- Замкнутая сбалансированная оболочка множества равна замкнутости сбалансированной оболочки этого множества.
- Замкнутая дисковая оболочка множества равна закрытию дисковой оболочки этого множества.
-
Компактность и замкнутость
- Замкнутая выпуклая оболочка компактного множества может не быть компактной.
- Сбалансированная оболочка компактного множества обладает тем же свойством.
- Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова является компактной и выпуклой.
-
Алгебраические факты и заблуждения
- Если S ⊆ X, то 2S ⊆ S + S; если S выпукло, то выполняется равенство.
- Подмножество C является выпуклым тогда и только тогда, когда (s + t)C = sC + tC для всех положительных реальных s и t.
- Выпуклая сбалансированная оболочка множества S равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки S.
-
Другие свойства
- В любом нетривиальном векторном пространстве X существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых является X.
- Каждая топология TVS может быть сгенерирована семейством F-полунорм.
- Если P(x) является унарным предикатом, то для любого z ∈ X, z + {x ∈ X: P(x)} = {x ∈ X: P(x — z)}.
-
Свойства, сохраняемые операторами
- Сумма двух компактных множеств обладает тем же свойством.
- Выпуклая оболочка сбалансированного множества сбалансирована.
- Выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно замкнута.
- Выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно ограничена.