Теорема Лефшеца о неподвижной точке

• Определение и свойства числа Лефшеца

  • Число Лефшеца — это число, которое описывает количество неподвижных точек отображения. 
  • Отображение, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, гомотопически эквивалентно отображению с фиксированной точкой. 
  • Число Лефшеца может быть вычислено через сумму матричных следов линейных отображений, связанных с отображением. 

• Теорема Лефшеца и её следствия

  • Теорема Лефшеца утверждает, что если отображение имеет конечное число неподвижных точек, то его число Лефшеца равно сумме индексов этих точек. 
  • Эта теорема является основой для теоремы Пуанкаре-Хопфа и обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке. 
  • Число Лефшеца связано с эйлеровой характеристикой пространства через группы гомологий. 

• Исторический контекст и обобщения

  • Лефшец представил свою теорему в 1926 году, фокусируясь на точках совпадения, а не на неподвижных точках. 
  • Фробениус расширил теорему Лефшеца на алгебраические многообразия над конечными полями, используя эндоморфизм Фробениуса. 
  • Формула трассировки Лефшеца обобщается на алгебраические стеки и может быть переписана в терминах арифметики Фробениуса.