Метка: Commutative algebra
-
Основа Грёбнера — Википедия
Основа Гребнера Основы теории базисов Гребнера Базисы Гребнера — это наборы многочленов, которые порождают идеал и имеют определенные свойства. Базисы Гребнера используются для сокращения многочленов и решения систем линейных уравнений. Определение и свойства базисов Гребнера Базис Гребнера — это набор многочленов, которые порождают идеал и имеют одинаковые ведущие одночлены. Базис Гребнера обладает свойством, что каждое…
-
Первичное разложение — Википедия
Первичное разложение Определение и свойства радикала Радикал идеала — это множество всех его минимальных элементов. Радикал идеала является подмножеством его спектра. Радикал идеала может быть определен как множество всех общих нулей ассоциированных простых чисел. Первичное разложение радикала Первичное разложение радикала — это разложение на простые идеалы, порожденные ассоциированными простыми числами. Если радикал идеала содержит только…
-
Идеал (теория колец) — Википедия
Идеал (теория колец) Определение и свойства идеалов Идеал — это подмножество элементов кольца, удовлетворяющее определенным условиям. Идеал является подкольцом, если он содержит единицу и является подмодулем, если он содержит нулевой элемент. Идеал является двусторонним, если он содержит как левые, так и правые идеалы. Примеры идеалов Множество всех целых чисел является идеалом в кольце целых чисел. …
-
Кольцо Крулля — Википедия
Кольцо Крулла Определение и свойства доменов Крулла Домен Крулла — это область с конечным полем, в которой каждый простой идеал высоты 1 является главным. Домены Крулла обладают уникальными свойствами, такими как существование интегрального замыкания и существование частных полей. Домены Крулла являются важными в теории коммутативных колец и алгебраической геометрии. Примеры и свойства Любой уникальный домен…
-
Неотъемлемый элемент — Википедия
Неотъемлемый элемент Определение интегрального расширения Интегральное расширение — это расширение поля K, в котором каждый элемент K является алгебраическим над расширением. Расширение K[x] / (x^2) является примером интегрального расширения. Интегральные расширения и кольца Интегральные расширения являются кольцами, в которых каждый элемент является алгебраическим над K. Кольцо A является интегральным расширением K, если оно является интегральным…
-
Одноветвевое локальное кольцо — Википедия
Единое местное кольцо Определение неразветвленного локального кольца Редуцированное кольцо Ared является интегральной областью Интегральное замыкание B Ared также является локальным кольцом Геометрическое определение неразветвленного локального кольца Поле вычетов в B является чисто неотделимым продолжением поля вычетов в Ared Топологическое определение неразветвленности Комплексное многообразие X топологически неразветвлено в точке x, если пересечение фундаментальной системы окрестностей с…
-
Лемма Нётер о нормализации — Википедия
Лемма о нормализации Нетер Лемма о нормализации Лемма утверждает, что если A — конечно порожденная алгебра над полем, то существует элемент g ∈ A, такой что A[g−1] является свободным A-модулем. Это обобщение теоремы о базисе Гильберта для конечно порожденных алгебр над полем. Применение леммы Лемма используется для доказательства теоремы о свободе, которая утверждает, что если…
-
Неотъемлемый элемент — Википедия
Неотъемлемый элемент Определение интегрального расширения Интегральное расширение — это расширение поля K, в котором каждый элемент K является алгебраическим над расширением. Расширение K[x] / (x^2) является примером интегрального расширения. Интегральные расширения и кольца Интегральные расширения являются кольцами, в которых каждый элемент является алгебраическим над K. Кольцо A является интегральным расширением K, если оно является интегральным…
-
Первичное разложение — Википедия
Первичное разложение Определение и свойства радикала Радикал идеала — это множество всех его минимальных элементов. Радикал идеала является подмножеством его спектра. Радикал идеала может быть определен как множество всех его ассоциированных простых чисел. Первичное разложение радикала Идеал может быть разложен на объединение простых идеалов, называемых первичными компонентами. Первичные компоненты включают все неопределенные значения и могут…
-
Линейная зависимость — Википедия
Линейное соотношение Определение и свойства сизигий Сизигии — это подмодули в кольце, которые являются идеалами. Идеал — это множество элементов, которые удовлетворяют некоторым условиям. Сизигии могут быть определены как подмодули, которые являются идеалами, или как подмодули, которые удовлетворяют условиям сизигий. Сизигии имеют важные свойства, такие как обратимость и существование базиса. Теорема Гильберта о сизигиях Теорема…
-
Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре — Википедия
Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре Обзор гомологических гипотез Коэна-Маколея Гипотезы касаются связи гомологических свойств коммутативных колец с их внутренней структурой. Включают теорему о делителе нуля, вопрос Басса, теорему о пересечении, новую теорему о пересечении и улучшенную гипотезу о новом пересечении. Гипотеза о прямом слагаемом утверждает, что конечное расширение кольца с регулярным R является прямым слагаемым…
-
Кластерная алгебра — Википедия
Кластерная алгебра Определение и классификация кластерных алгебр Кластерная алгебра — алгебра, порожденная множеством кластеров. Кластеры — подмножества точек в векторном пространстве, связанные с диаграммами Дынкина. Кластерные переменные — элементы, определяющие кластеры. Кластерные графы — графы, соответствующие кластерам. Примеры кластерных алгебр Примеры включают алгебры однородных функций и алгебры на грассманианах. Кластерные алгебры возникают из компактных связных…
-
Дифференциальная градуированная алгебра — Википедия
Дифференциальная градуированная алгебра Определение DG-алгебры DG-алгебра — это градуированная алгебра с цепной комплексной структурой. Дифференциал d имеет степень 1 или -1 и удовлетворяет условию d^2 = 0. Дифференциал соответствует правилу Лейбница и является моноидальным объектом в категории цепных комплексов. Примеры DG-алгебр Тензорная алгебра над векторным пространством является DG-алгеброй. Комплекс Кошуля — это фундаментальный пример DG-алгебры…
-
Конечно порожденная алгебра — Википедия
Конечно порожденная алгебра Определение конечно порожденной алгебры Коммутативная ассоциативная алгебра A над полем K, элементы которой выражаются через конечное число элементов a1,…,an. Эквивалентно, существует сюръективный оценочный гомоморфизм при a = (a1,…,an), что позволяет представить A как K[X1,…,Xn]/ker(ϕa). Примеры конечно порожденных алгебр Полиномиальная алгебра K[x1,…,xn] конечно порождена. Поле E = K(t) рациональных функций над K не…
-
Двойственность Матлиса — Википедия
Двойственность Матлиса Определение двойственности Матлиса Двойственность Матлиса связывает артиновы и нетеровы модули над полным нетеровым локальным кольцом. В случае поля вычетов, двойственность Матлиса связана с работой Маколея и иногда называется двойственностью Маколея. Определение и свойства двойственности Матлиса Двойственность Матлиса определяется как HomR(M,E), где E — инъективная оболочка поля вычетов. Функтор двойственности DR является антиэквивалентностью между…
-
Модуль дуализации — Википедия
Модуль дуализации Определение дуализирующего модуля Дуализирующий модуль — это модуль над коммутативным кольцом, аналогичный каноническому расслоению. Используется в локальной двойственности Гротендика. Свойства дуализирующего модуля Дуализирующий модуль для нетерова кольца R — это конечно порожденный модуль M, такой, что R / m ExtnR (R / m, M) = 0 для максимального идеала m и одномерный для…
-
Общая плоскостность — Википедия
Общая плоскостность Теоремы об общей плоскостности и свободе Утверждают, что модули на схеме могут быть плоскими или свободными при определенных условиях. Созданы Александром Гротендиком. Общая плоскостность Если Y — интегральная локально нетерова схема, u : X → Y — морфизм схем, F — когерентный OX-модуль, существует открытое подмножество U, где F является плоской структурой. Может…
-
Инвариантное базисное число — Википедия
Инвариантный базисный номер Определение и свойства инвариантного базисного числа Кольцо R обладает свойством IBN, если все конечно порожденные свободные левые модули имеют четко определенный ранг. В случае полей свойство IBN эквивалентно утверждению о том, что конечномерные векторные пространства имеют уникальную размерность. Эквивалентно, это означает, что не существует различных натуральных чисел m и n, таких, что…
-
Присоединение Тензор-хом — Википедия
Тензорно-гомологическое присоединение Основы тензорного соединения Тензорное произведение и гомо-функтор образуют сопряженную пару в математике. Тензорное соединение является левым присоединением, а гомо-функтор — правым присоединением. Применение к категориям модулей Рассматриваются категории правых модулей над кольцами R и S. Определяются функторы F и G, которые соединяются слева. Существует естественный изоморфизм между категориями модулей. Числовые и единичные естественные…
-
Состояние восходящей цепи — Википедия
Состояние восходящей цепочки Определение и свойства частично упорядоченных множеств Частично упорядоченное множество (poset) — это множество с отношением порядка, которое может быть строгим или нестрогим. Условие восходящей цепочки (ACC) утверждает, что в poset нет бесконечных строго восходящих последовательностей элементов. Условие нисходящей цепочки (DCC) аналогично, но для нисходящих последовательностей. Примеры и свойства Идеалы в кольце целых…