Абстрактный симплициальный комплекс

• Определение и свойства абстрактных симплициальных комплексов

  • Абстрактный симплициальный комплекс — это набор граней, связанных с вершинами и ребрами. 
  • Грани могут быть пустыми или непустыми подмножествами вершинного множества. 
  • Ребра могут быть ориентированными или неориентированными. 
  • Размерность комплекса определяется числом вершин. 

• Примеры и приложения

  • Примеры включают стандартные комбинаторные n-симплексы, комплексы клик, независимости и порядка. 
  • Комплексы используются в топологии, теории гомологий, обработке изображений и других областях. 

• Геометрическая реализация и топологическое определение

  • Геометрическая реализация — это топологическое пространство, которое можно получить из комплекса. 
  • Топологическое определение основано на функторе, который отображает грани в стандартные n-симплексы. 

• Категорическое определение и примеры

  • Категорическое определение использует функтор, отображающий грани в топологические пространства. 
  • Примеры включают комплексы клик и независимости, а также комплексы, связанные с гиперграфами и частично упорядоченными множествами. 

• Перечисление и вычислительные задачи

  • Число абстрактных симплициальных комплексов растет очень быстро и известно только для малых значений n. 
  • Задача распознавания симплициальных комплексов неразрешима для некоторых размерностей. 

• Связь с другими понятиями

  • Абстрактные симплициальные комплексы связаны с матроидами через свойство увеличения или обмена. 
  • Существует иерархия между гиперграфами, семействами множеств, независимыми системами и абстрактными симплициальными комплексами.