Аксиома пустого множества

• Определение аксиомы пустого множества

  • Аксиома утверждает существование множества без элементов. 
  • Используется в аксиоматической теории множеств Крипке-Платека и ST. 
  • Доказуема в теориях Цермело и Цермело-Френкеля. 

• Формулировка аксиомы

  • На формальном языке: ∃x¬∃y(y∈x). 
  • На естественном языке: «Существует пустое множество». 

• Толкование и следствия

  • Аксиома позволяет доказать существование только одного пустого множества. 
  • Пустое множество имеет название и обозначается { } или ∅. 
  • Аксиома является теоремой во всех версиях теории множеств. 
  • Споры о том, как обосновать аксиому: аксиома, вывод из других аксиом, аксиома бесконечности. 
  • В некоторых формулировках ZF аксиома пустого множества повторяется в аксиоме бесконечности. 

• Вариации аксиомы и их последствия

  • Существуют теории множеств без бесконечных множеств, где аксиома о пустом множестве все еще требуется. 
  • Аксиома о пустом множестве следует из аксиомы разделения при наличии схемы разделения. 
  • В логической системе с разделением аксиом существование пустого множества гарантировано. 
  • В случае отсутствия разделения аксиомы, ситуация зависит от конкретной схемы замены. 

• Рекомендации по дальнейшему чтению

  • Список литературы включает работы Берджесса, Пола Халмоса, Джеха и Кунена.