Оглавление
Аксиома пустого множества
-
Определение аксиомы пустого множества
- Аксиома утверждает существование множества без элементов.
- Используется в аксиоматической теории множеств Крипке-Платека и ST.
- Доказуема в теориях Цермело и Цермело-Френкеля.
-
Формулировка аксиомы
- На формальном языке: ∃x¬∃y(y∈x).
- На естественном языке: “Существует пустое множество”.
-
Толкование и следствия
- Аксиома позволяет доказать существование только одного пустого множества.
- Пустое множество имеет название и обозначается { } или ∅.
- Аксиома является теоремой во всех версиях теории множеств.
- Споры о том, как обосновать аксиому: аксиома, вывод из других аксиом, аксиома бесконечности.
- В некоторых формулировках ZF аксиома пустого множества повторяется в аксиоме бесконечности.
-
Вариации аксиомы и их последствия
- Существуют теории множеств без бесконечных множеств, где аксиома о пустом множестве все еще требуется.
- Аксиома о пустом множестве следует из аксиомы разделения при наличии схемы разделения.
- В логической системе с разделением аксиом существование пустого множества гарантировано.
- В случае отсутствия разделения аксиомы, ситуация зависит от конкретной схемы замены.
-
Рекомендации по дальнейшему чтению
- Список литературы включает работы Берджесса, Пола Халмоса, Джеха и Кунена.
Полный текст статьи: