Warning: mysqli_query(): MySQL server has gone away in /var/www/www-root/data/www/ask3.ru/wp-includes/class-wpdb.php on line 2345

Warning: mysqli_query(): Error reading result set's header in /var/www/www-root/data/www/ask3.ru/wp-includes/class-wpdb.php on line 2345

Алгебраическая теория чисел — Arc.Ask3.Ru

Оглавление1 Algebraic number theory1.1 История алгебраической теории чисел1.2 Диофант и его вклад1.3 Ферма и его вклад1.4 Гаусс и его вклад1.5 […]

Оглавление

Algebraic number theory

  • История алгебраической теории чисел

    • Алгебраическая теория чисел использует методы абстрактной алгебры для изучения целых, рациональных чисел и их обобщений.  
    • Вопросы теории чисел выражаются через свойства алгебраических объектов, таких как алгебраические числовые поля и их кольца целых чисел.  
    • Эти свойства, такие как уникальность факторизации, поведение идеалов и группы Галуа, помогают решать важные вопросы теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений.  
  • Диофант и его вклад

    • Диофант изучал диофантовы уравнения и разработал методы их решения.  
    • Его работа «Арифметика» сохранилась лишь частично.  
  • Ферма и его вклад

    • Пьер де Ферма сформулировал гипотезу о последней теореме Ферма в 1637 году.  
    • Доказательство было опубликовано только в 1995 году.  
  • Гаусс и его вклад

    • Карл Фридрих Гаусс написал «Disquisitiones Arithmeticae» в 1798 году.  
    • Книга систематизировала результаты предшественников и добавила новые результаты.  
    • Гаусс заложил основы для работы других математиков XIX века, таких как Эрнст Куммер, Петер Густав Лежен Дирихле и Ричард Дедекинд.  
  • Дирихле и его вклад

    • Петер Густав Лежен Дирихле доказал первую формулу числа классов для квадратичных форм.  
    • Он также доказал теорему Дирихле о единичной группе и приближение Дирихле.  
    • Дирихле внес вклад в доказательство последней теоремы Ферма и биквадратичный закон взаимности.  
  • Дедекинд и его вклад

    • Ричард Дедекинд изучал работы Дирихле и опубликовал «Vorlesungen über Zahlentheorie» в 1863 году.  
    • Дедекинд ввел понятие идеала, которое позже развили Гильберт и Неттер.  
  • Hilbert и его вклад

    • Давид Гильберт объединил алгебраическую теорию чисел в 1897 году.  
    • Он решил проблему Варинга и сделал ряд гипотез о теории классов.  
    • Его вклад включает понятия класса Гильберта и символа Гильберта.  
  • Артин и его вклад

    • Эмиль Артин установил закон взаимности в 1924-1930 годах.  
    • Закон взаимности является центральной частью глобальной теории классов.  
  • Современная теория

    • В 1955 году Горо Шимура и Ютака Танияма предположили связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами.  
    • В 1993-1994 годах Эндрю Уайлс доказал модулярную теорему для полустабильных эллиптических кривых, что вместе с теоремой Рибета доказало последнюю теорему Ферма.  
  • Основные понятия

    • В алгебраических числовых полях может не существовать уникальной факторизации.  
    • В таких полях могут быть ассоциированные элементы, такие как p и up, где p — простое число, а u — единица.  
  • Уникальная факторизация в рациональных числах

    • В рациональных числах существует уникальное разложение на простые множители.  
    • В других числовых полях, таких как Z[i], это не всегда так.  
  • Идеальная группа классов

    • Идеальная группа классов измеряет, насколько близки к простоте идеалы в кольце целых чисел.  
    • В Z[√-5] есть два класса: один для простых идеалов и один для не-простых.  
  • Факторизация в простые идеалы

    • В Z[√-5] идеалы могут быть разложены на простые идеалы, но не всегда.  
    • В Z[i] идеалы могут быть разложены на простые идеалы, если они не содержат i.  
  • Идеальные числа

    • Идеальные числа — это числа в расширенном поле, которые заменяют простые числа в факторизации.  
    • Идеальные числа используются для доказательства уникальной факторизации в некоторых числовых полях.  
  • Идеалы в различных числовых полях

    • Идеалы в Z[i] могут быть простыми или не-простыми в зависимости от их расширения.  
    • В Z[√-5] идеал (2, 1 + √-5) не является простым.  
  • Идеальная группа классов и дивизоры

    • Идеальная группа классов может быть описана через дивизоры, формальные объекты, представляющие факторизации чисел.  
    • Дивизоры могут быть использованы для описания идеальной группы классов.  
  • Реальные и комплексные вложения

    • Некоторые числовые поля могут быть вложены в реальные или комплексные числа.  
    • Реальные и комплексные вложения определяют функцию Минковского, которая описывает поле через его степень и дискриминант.  
  • Места

    • Реальные и комплексные вложения могут быть описаны через абсолютные значения, которые измеряют делимость на простые числа.  
    • Абсолютные значения являются общим языком для описания как реальных вложений, так и простых чисел.  
  • Места алгебраического числового поля

    • Места определяются как классы эквивалентности функций абсолютного значения на K.  
    • Существуют конечные и бесконечные места.  
    • Конечные места измеряют делимость, бесконечные места связаны с вещественными и комплексными вложениями K.  
  • Кольца Адели

    • Кольца Адели позволяют отслеживать все доступные данные с помощью абсолютных значений.  
    • Это полезно в ситуациях, когда поведение в одном месте влияет на другие.  
  • Геометрическая аналогия мест на бесконечности

    • Функциональные поля кривых имеют множество абсолютных значений, соответствующих точкам на кривой.  
    • Завершение функционального поля в точке дает аналог p-адических абсолютных значений.  
  • Единицы и группы

    • Целые числа могут содержать больше единиц измерения, чем два.  
    • Группа единиц O× является конечно порожденной абелевой группой.  
    • Свободная часть группы единиц описывается единичной теоремой Дирихле.  
  • Дзета-функция

    • Дзета-функция Дедекинда описывает поведение простых идеалов в K.  
    • В расширениях Галуа дзета-функция является L-функцией Артина.  
  • Локальные поля

    • Заполнение числового поля в точке дает полное поле.  
    • Локальные поля упрощают арифметику и позволяют изучать проблемы на месте.  
  • Основные результаты

    • Группа классов алгебраического числового поля конечна.  
    • Единичная теорема Дирихле описывает структуру группы единиц O×.  
    • Законы взаимности обобщают закон квадратичной взаимности.  
  • Смежные области

    • Алгебраическая теория чисел взаимодействует с гомологической алгеброй и алгебраической геометрией.  
    • Изучение многомерных схем над Z называется арифметической геометрией.  
  • Числовые поля и алгебраическая геометрия

    • Числовые поля основаны на методах и идеях алгебраической геометрии  
    • Изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец называется арифметической геометрией  
  • Алгебраическая теория чисел и арифметические гиперболические 3-многообразия

    • Алгебраическая теория чисел используется при изучении арифметических гиперболических 3-многообразий  
  • Связанные теории и понятия

    • Теория классового поля  
    • Теория Куммера  
    • Локально компактное поле  
    • Номер Тамагавы  
  • Дополнительные ресурсы

    • Записи  
    • Дальнейшее чтение  
    • Вводные тексты  
    • Промежуточные тексты  
    • Тексты для выпускников  
    • Внешние ссылки  
    • Материалы, связанные с алгебраической теорией чисел, на Викискладе  

Полный текст статьи:

Алгебраическая теория чисел — Arc.Ask3.Ru

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх