Оглавление
- 1 Algebraic number theory
- 1.1 История алгебраической теории чисел
- 1.2 Диофант и его вклад
- 1.3 Ферма и его вклад
- 1.4 Гаусс и его вклад
- 1.5 Дирихле и его вклад
- 1.6 Дедекинд и его вклад
- 1.7 Hilbert и его вклад
- 1.8 Артин и его вклад
- 1.9 Современная теория
- 1.10 Основные понятия
- 1.11 Уникальная факторизация в рациональных числах
- 1.12 Идеальная группа классов
- 1.13 Факторизация в простые идеалы
- 1.14 Идеальные числа
- 1.15 Идеалы в различных числовых полях
- 1.16 Идеальная группа классов и дивизоры
- 1.17 Реальные и комплексные вложения
- 1.18 Места
- 1.19 Места алгебраического числового поля
- 1.20 Кольца Адели
- 1.21 Геометрическая аналогия мест на бесконечности
- 1.22 Единицы и группы
- 1.23 Дзета-функция
- 1.24 Локальные поля
- 1.25 Основные результаты
- 1.26 Смежные области
- 1.27 Числовые поля и алгебраическая геометрия
- 1.28 Алгебраическая теория чисел и арифметические гиперболические 3-многообразия
- 1.29 Связанные теории и понятия
- 1.30 Дополнительные ресурсы
- 1.31 Полный текст статьи:
- 2 Алгебраическая теория чисел — Arc.Ask3.Ru
Algebraic number theory
-
История алгебраической теории чисел
- Алгебраическая теория чисел использует методы абстрактной алгебры для изучения целых, рациональных чисел и их обобщений.
- Вопросы теории чисел выражаются через свойства алгебраических объектов, таких как алгебраические числовые поля и их кольца целых чисел.
- Эти свойства, такие как уникальность факторизации, поведение идеалов и группы Галуа, помогают решать важные вопросы теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений.
-
Диофант и его вклад
- Диофант изучал диофантовы уравнения и разработал методы их решения.
- Его работа «Арифметика» сохранилась лишь частично.
-
Ферма и его вклад
- Пьер де Ферма сформулировал гипотезу о последней теореме Ферма в 1637 году.
- Доказательство было опубликовано только в 1995 году.
-
Гаусс и его вклад
- Карл Фридрих Гаусс написал «Disquisitiones Arithmeticae» в 1798 году.
- Книга систематизировала результаты предшественников и добавила новые результаты.
- Гаусс заложил основы для работы других математиков XIX века, таких как Эрнст Куммер, Петер Густав Лежен Дирихле и Ричард Дедекинд.
-
Дирихле и его вклад
- Петер Густав Лежен Дирихле доказал первую формулу числа классов для квадратичных форм.
- Он также доказал теорему Дирихле о единичной группе и приближение Дирихле.
- Дирихле внес вклад в доказательство последней теоремы Ферма и биквадратичный закон взаимности.
-
Дедекинд и его вклад
- Ричард Дедекинд изучал работы Дирихле и опубликовал «Vorlesungen über Zahlentheorie» в 1863 году.
- Дедекинд ввел понятие идеала, которое позже развили Гильберт и Неттер.
-
Hilbert и его вклад
- Давид Гильберт объединил алгебраическую теорию чисел в 1897 году.
- Он решил проблему Варинга и сделал ряд гипотез о теории классов.
- Его вклад включает понятия класса Гильберта и символа Гильберта.
-
Артин и его вклад
- Эмиль Артин установил закон взаимности в 1924-1930 годах.
- Закон взаимности является центральной частью глобальной теории классов.
-
Современная теория
- В 1955 году Горо Шимура и Ютака Танияма предположили связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами.
- В 1993-1994 годах Эндрю Уайлс доказал модулярную теорему для полустабильных эллиптических кривых, что вместе с теоремой Рибета доказало последнюю теорему Ферма.
-
Основные понятия
- В алгебраических числовых полях может не существовать уникальной факторизации.
- В таких полях могут быть ассоциированные элементы, такие как p и up, где p — простое число, а u — единица.
-
Уникальная факторизация в рациональных числах
- В рациональных числах существует уникальное разложение на простые множители.
- В других числовых полях, таких как Z[i], это не всегда так.
-
Идеальная группа классов
- Идеальная группа классов измеряет, насколько близки к простоте идеалы в кольце целых чисел.
- В Z[√-5] есть два класса: один для простых идеалов и один для не-простых.
-
Факторизация в простые идеалы
- В Z[√-5] идеалы могут быть разложены на простые идеалы, но не всегда.
- В Z[i] идеалы могут быть разложены на простые идеалы, если они не содержат i.
-
Идеальные числа
- Идеальные числа — это числа в расширенном поле, которые заменяют простые числа в факторизации.
- Идеальные числа используются для доказательства уникальной факторизации в некоторых числовых полях.
-
Идеалы в различных числовых полях
- Идеалы в Z[i] могут быть простыми или не-простыми в зависимости от их расширения.
- В Z[√-5] идеал (2, 1 + √-5) не является простым.
-
Идеальная группа классов и дивизоры
- Идеальная группа классов может быть описана через дивизоры, формальные объекты, представляющие факторизации чисел.
- Дивизоры могут быть использованы для описания идеальной группы классов.
-
Реальные и комплексные вложения
- Некоторые числовые поля могут быть вложены в реальные или комплексные числа.
- Реальные и комплексные вложения определяют функцию Минковского, которая описывает поле через его степень и дискриминант.
-
Места
- Реальные и комплексные вложения могут быть описаны через абсолютные значения, которые измеряют делимость на простые числа.
- Абсолютные значения являются общим языком для описания как реальных вложений, так и простых чисел.
-
Места алгебраического числового поля
- Места определяются как классы эквивалентности функций абсолютного значения на K.
- Существуют конечные и бесконечные места.
- Конечные места измеряют делимость, бесконечные места связаны с вещественными и комплексными вложениями K.
-
Кольца Адели
- Кольца Адели позволяют отслеживать все доступные данные с помощью абсолютных значений.
- Это полезно в ситуациях, когда поведение в одном месте влияет на другие.
-
Геометрическая аналогия мест на бесконечности
- Функциональные поля кривых имеют множество абсолютных значений, соответствующих точкам на кривой.
- Завершение функционального поля в точке дает аналог p-адических абсолютных значений.
-
Единицы и группы
- Целые числа могут содержать больше единиц измерения, чем два.
- Группа единиц O× является конечно порожденной абелевой группой.
- Свободная часть группы единиц описывается единичной теоремой Дирихле.
-
Дзета-функция
- Дзета-функция Дедекинда описывает поведение простых идеалов в K.
- В расширениях Галуа дзета-функция является L-функцией Артина.
-
Локальные поля
- Заполнение числового поля в точке дает полное поле.
- Локальные поля упрощают арифметику и позволяют изучать проблемы на месте.
-
Основные результаты
- Группа классов алгебраического числового поля конечна.
- Единичная теорема Дирихле описывает структуру группы единиц O×.
- Законы взаимности обобщают закон квадратичной взаимности.
-
Смежные области
- Алгебраическая теория чисел взаимодействует с гомологической алгеброй и алгебраической геометрией.
- Изучение многомерных схем над Z называется арифметической геометрией.
-
Числовые поля и алгебраическая геометрия
- Числовые поля основаны на методах и идеях алгебраической геометрии
- Изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец называется арифметической геометрией
-
Алгебраическая теория чисел и арифметические гиперболические 3-многообразия
- Алгебраическая теория чисел используется при изучении арифметических гиперболических 3-многообразий
-
Связанные теории и понятия
- Теория классового поля
- Теория Куммера
- Локально компактное поле
- Номер Тамагавы
-
Дополнительные ресурсы
- Записи
- Дальнейшее чтение
- Вводные тексты
- Промежуточные тексты
- Тексты для выпускников
- Внешние ссылки
- Материалы, связанные с алгебраической теорией чисел, на Викискладе