Оглавление
Алгеброид Атии
-
Определение алгеброида Атия
- Алгеброид Атия — это алгеброид Ли калибровочного группоида.
- Он задается короткой точной последовательностью векторных расслоений.
- Назван в честь Майкла Атии.
-
Последовательность Атия
- Для любого пучка волокон P над многообразием M, дифференциальный dπ определяет короткую точную последовательность векторных расслоений.
- Если P — основной G-сверток, группа G воздействует на векторные расслоения.
- Частное от G из последовательности дает последовательность Атия.
-
Алгеброид Ли
- Алгеброид Атия из P является алгеброидом Ли калибровочного группоида P.
- Ядро якоря изоморфно P × Gg.
- Сечения алгеброида Атия — это алгебра Ли G-инвариантных векторных полей на P.
-
Примеры
- Алгеброид Атия главного G-свертка G → * — это алгебра Ли g → *.
- Алгеброид Атия главного {e}-свертка M → M — это касательный алгеброид TM → M.
- Алгеброид Атия транзитивного G-свертка G → M с группой изотропии H — это алгеброид действия h × M → M.
- Алгеброид Атия каркасного расслоения E → M — это общий линейный алгеброид Der(E) → M.
-
Свойства
- Алгеброид Атия всегда транзитивен и интегрируем.
- Интегрируемость и транзитивность независимы.
- Интегрируемые алгеброиды Ли не обязательно транзитивны, и наоборот.
-
Отношения со связями
- Правильные расщепления σ: TM → A соответствуют основным связям на P → M.
- Кривизна таких соединений соответствует двум формам Ωσ ∈ Ω2(M, P[g]).
-
Морфизмы
- Любой морфизм ϕ: P → P’ из главных расслоений индуцирует алгеброидный морфизм Ли dϕ: TP/G → TP/G’.