Противоположная точка

• Определение антиподальных точек

  • Две точки на сфере называются антиподальными, если они являются диаметрально противоположными. 
  • Антиподальная точка — это точка на наибольшем расстоянии от заданной точки, независимо от измерения. 
  • Каждая большая окружность на сфере проходит через антиподальную точку. 

• Важность антиподальных точек в геометрии

  • Результаты сферической геометрии зависят от выбора антиподальных точек и могут вырождаться при их отсутствии. 
  • Сферический треугольник становится неопределенным, если его вершины являются антиподальными точками. 

• Обобщение понятия антиподальных точек

  • Понятие антиподальных точек обобщается на сферы любого измерения. 
  • Теорема Борсука-Улама утверждает, что непрерывная функция отображает антиподальные точки на сфере в одну и ту же точку в евклидовом пространстве. 

• Антиподальное отображение

  • Антиподальное отображение сохраняет ориентацию и меняет ее на противоположную при четном числе измерений. 
  • Степень антиподального отображения равна (-1)^(n+1). 

• Модель реального проективного пространства

  • Если антиподальные точки идентифицированы, сфера становится моделью реального проективного пространства.