Оглавление
Противоположная точка
-
Определение антиподальных точек
- Две точки на сфере называются антиподальными, если они являются диаметрально противоположными.
- Антиподальная точка – это точка на наибольшем расстоянии от заданной точки, независимо от измерения.
- Каждая большая окружность на сфере проходит через антиподальную точку.
-
Важность антиподальных точек в геометрии
- Результаты сферической геометрии зависят от выбора антиподальных точек и могут вырождаться при их отсутствии.
- Сферический треугольник становится неопределенным, если его вершины являются антиподальными точками.
-
Обобщение понятия антиподальных точек
- Понятие антиподальных точек обобщается на сферы любого измерения.
- Теорема Борсука-Улама утверждает, что непрерывная функция отображает антиподальные точки на сфере в одну и ту же точку в евклидовом пространстве.
-
Антиподальное отображение
- Антиподальное отображение сохраняет ориентацию и меняет ее на противоположную при четном числе измерений.
- Степень антиподального отображения равна (-1)^(n+1).
-
Модель реального проективного пространства
- Если антиподальные точки идентифицированы, сфера становится моделью реального проективного пространства.
Полный текст статьи: