Оглавление
- 1 Архимедова спираль
- 1.1 Определение и свойства спирали Архимеда
- 1.2 Вывод уравнения спирали
- 1.3 Длина и кривизна дуги
- 1.4 Характеристики спирали
- 1.5 Общая архимедова спираль
- 1.6 Приложения
- 1.7 Методы строительства
- 1.8 Построение циркулем и линейкой спирали Теодора
- 1.9 Механический метод построения арифметической спирали
- 1.10 Инструмент для рисования струнным компасом
- 1.11 Вариант метода струнного компаса
- 1.12 Высокая точность и гибкость
- 1.13 Другие спирали
- 1.14 Рекомендации и внешние ссылки
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Архимедова спираль
Архимедова спираль
-
Определение и свойства спирали Архимеда
- Спираль Архимеда названа в честь греческого математика Архимеда.
- Это локус, соответствующий местоположению точки, удаляющейся от неподвижной точки с постоянной скоростью вдоль линии, вращающейся с постоянной угловой скоростью.
- В полярных координатах уравнение спирали: r = b ⋅ θ.
- Изменение параметра b определяет расстояние между петлями.
-
Вывод уравнения спирали
- Используется физический подход для понимания спиралей.
- Объект движется в декартовой системе координат с постоянной скоростью v.
- Уравнения интегрируются, приводя к параметрическим уравнениям.
- Возведение в квадрат и добавление приводит к декартову уравнению.
-
Длина и кривизна дуги
- Длина дуги от θ1 до θ2 равна b2 [θ1 + θ2 + ln(θ + 1 + θ2)].
- Кривизна задается формулой κ = θ2 + 2b(θ2 + 1)3/2.
-
Характеристики спирали
- Спираль Архимеда имеет два рукава, один для θ > 0 и один для θ < 0.
- При больших θ точка движется с равномерным ускорением вдоль спирали.
- По мере роста спирали ее траектория асимптотически приближается к окружности.
-
Общая архимедова спираль
- Иногда термин Архимедова спираль используется для обозначения более общей группы спиралей.
- Нормальная спираль Архимеда возникает при c = 1.
- Другие спирали включают гиперболическую спираль, спираль Ферма и литуус.
-
Приложения
- Архимед использовал спираль для возведения круга в квадрат и деления угла на три части.
- Спиральные компрессоры, спиральные антенны, часовые пружины и грампластинки используют архимедовы спирали.
- Спираль используется в проекционных системах и пищевой микробиологии.
- Архимедовы спирали моделируют рисунок на бумаге и ленте.
-
Методы строительства
- Архимедова спираль не может быть точно построена циркулем и линейкой.
- Арифметическая спираль может быть построена приблизительно с помощью циркуля и линейки или модифицированного струнного циркуля.
- Метод с циркулем и линейкой включает построение большого круга и серии концентрических окружностей.
-
Построение циркулем и линейкой спирали Теодора
- Простой метод аппроксимации архимедовой спирали
- Использует модифицированный струнный циркуль
-
Механический метод построения арифметической спирали
- Струна наматывается вокруг неподвижного центрального стержня
- Длина радиуса изменяется при изменении угла
- Метод напоминает методы создания эллипсов на основе струн
-
Инструмент для рисования струнным компасом
- Различные модификации и конструкции
- Напоминает методы создания эллипсов
-
Вариант метода струнного компаса
- Используется невращающийся стержень со спиральной резьбой
- Два рычага с прорезями: горизонтальный и наклонный
- Горизонтальный рычаг перемещается вверх, сокращая радиус
- Наклонный рычаг образует конус, изменяя высоту спирали
-
Высокая точность и гибкость
- Зависит от точности обработки винтовой резьбы
- Напоминает винт Архимеда
-
Другие спирали
- Спираль Ферма: охватывает равную площадь за один оборот
- Золотая спираль: самоподобная кривая, связанная с золотым сечением
- Гиперболическая спираль: асимптотическая по отношению к прямой
- Логарифмическая спираль: самоподобная кривая роста
- Спираль Теодора: многоугольная кривая из прямоугольных треугольников
- Символ тройной спирали: символ с трехкратной вращательной симметрией
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Видео: Джонатан Мэтт делает спираль Архимеда интересной
- Архимедова спираль в PlanetMath
- Java-приложение для интерактивного изучения архимедовой спирали
- Онлайн-исследование с использованием JSXGraph
- Архимедова спираль в “математической кривой”