Оглавление
Двухкатегория
-
Определение бикатегории
- Бикатегория (слабая 2-я категория) расширяет понятие категории, рассматривая случаи, когда состав морфизмов не строго ассоциативен, а ассоциативен только с точностью до изоморфизма.
- Введено Жаном Бенабу в 1967 году.
- Двухкатегории могут рассматриваться как ослабление определения двухкатегорий.
-
Структура бикатегории
- Состоит из объектов (0-ячейки), морфизмов (1-ячейки) и морфизмов между морфизмами (2-ячейки).
- При наличии двух объектов a и b существует категория B(a, b) с объектами 1-ячейками и морфизмами 2-ячейками.
- Композиция в этой категории называется вертикальной композицией.
- При наличии трех объектов a, b и c существует бифунктор ∗: B(b, c) × B(a, b) → B(a, c), называемый горизонтальной композицией.
- Горизонтальная композиция должна быть ассоциативной с точностью до естественного изоморфизма α между морфизмами h∗(g∗f) и (h∗g)∗f.
-
Пример: Логическая моноидальная категория
- Моноидальная категория Bool[1] может быть переосмыслена как бикатегория с одним объектом x.
- Объекты {T, F} становятся морфизмами, а морфизм g становится естественным преобразованием.
-
Рекомендации
- J. Бенабу, “Введение в бикатегории, часть I”, 1967.
- Двойная категория в лаборатории nLab.