Оглавление
- 1 ПЕРВОЕ квантование
- 1.1 Формализм BRST
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Значение BRST
- 1.4 Калибровочные преобразования и квантование
- 1.5 Калибровочная фиксация и теория возмущений
- 1.6 Геометрический подход
- 1.7 Пертурбативная структура квантовой теории поля
- 1.8 Картина взаимодействия
- 1.9 Серия Dyson
- 1.10 Проблемы перенормировки
- 1.11 Подходы к установке калибров
- 1.12 Калибровочные пучки и идеальная вертикаль
- 1.13 Теория поля и калибровочное расслоение
- 1.14 Фундаментальная лагранжева плотность
- 1.15 Оператор BRST и асимптотическое пространство Фока
- 1.16 Асимптотические состояния и когомологии BRST
- 1.17 Квантование и когомологии BRST
- 1.18 Пертурбативные расчеты и асимптотические состояния
- 1.19 Расширение ряда Дайсона
- 1.20 Ответ Куго–Одзимы на вопросы унитарности
- 1.21 Поля в лагранжиане
- 1.22 Первая лагранжева плотность
- 1.23 Преобразование полей при калибровочном преобразовании
- 1.24 Свойства полей
- 1.25 Одночастичные состояния теории
- 1.26 Фиксация датчика при квантовании BRST
- 1.27 Примеры фиксации датчика
- 1.28 Калибровочные условия и BRST
- 1.29 Θ-Датчики в теориях Янга-Миллса
- 1.30 Математический подход к BRST
- 1.31 Конструкция BRST для гамильтоновых действий
- 1.32 Применение BRST
- 1.33 Спектральная последовательность и когомологии
- 1.34 Формализм Баталина–Вилковиски
- 1.35 Глава 16 Пескин и Шредер
- 1.36 Глава 12 Геккелер и Шюкер
- 1.37 Математическая обработка
- 1.38 Альтернативные точки зрения
- 1.39 Внешние ссылки
- 1.40 Полный текст статьи:
- 2 БРСТ-квантование
ПЕРВОЕ квантование
-
Формализм BRST
- Формализм BRST (BRST от фамилий Бекки, Руэ, Стора и Тютина) — строгий математический подход к квантованию теории поля с калибровочной симметрией.
- Правила квантования в ранних системах КТП были эвристическими, особенно в неабелевой КТП.
- Первая глобальная суперсимметрия рационализировала введение призраков Фаддеева-Попова.
-
История и развитие
- В середине 1970-х годов была введена глобальная суперсимметрия для устранения аномалий.
- В конце 1980-х годов КТП была переформулирована на языке расслоений, что выявило геометрический характер первого “преобразования”.
- В 1976 году Бекки, Руэ и Стора описали аналитическую форму “преобразования” BRST.
-
Значение BRST
- BRST позволяет выполнять последовательные пертурбативные вычисления без аномалий.
- BRST устраняет калибровочные аномалии, не проявляясь в асимптотических состояниях теории.
- BRST обеспечивает унитарность и перенормируемость S-матрицы в каждом порядке цикла.
-
Калибровочные преобразования и квантование
- Квантовая теория поля состоит из принципа действия и процедур для пертурбативных вычислений.
- Калибровочные теории обобщают идею КЭД на более сложные группы Ли.
- Метод BRST предоставил методы расчета и доказательства перенормируемости для неабелевых теорий Янга-Миллса.
-
Калибровочная фиксация и теория возмущений
- Принцип калибровочной инвариантности необходим для квантовой теории поля.
- Калибровочная фиксация подавляет “нефизические” степени свободы, сохраняя калибровочную симметрию.
- Гамильтонова плотность связана с производной Ли от лагранжевой плотности.
-
Геометрический подход
- BRST связан с суперсимплектическим многообразием и когомологиями BRST.
- Калибровочные преобразования в QFT обобщают идею КЭД на более сложные группы Ли.
- BRST параметризует вариации, связанные с калибровочными преобразованиями, и учитывает их физическую несущественность.
-
Пертурбативная структура квантовой теории поля
- Квантованный гамильтониан входит через ряд Дайсона
- Состояние Фока описывает конфигурацию полей на горизонтальном поперечном сечении
- Пространство Фока заполнено многочастичными собственными состояниями невозмущенного гамильтониана
-
Картина взаимодействия
- Связывает состояния Фока в разное время
- Каждое собственное состояние испытывает постоянную скорость фазового поворота
- В приближении нулевого порядка веса не меняются
-
Серия Dyson
- Отражает эффект несоответствия между невозмущенным и истинным гамильтонианом
- Основной инструмент для количественных прогнозов
- Требует калибровочно-инвариантной плотности Лагранжа и правил Фейнмана
-
Проблемы перенормировки
- Квантовые теории поля уязвимы для ультрафиолетовых расхождений
- Перенормировка необходима для устранения бесконечных интегралов
- Калибровочная инвариантность важна для перенормируемости
-
Подходы к установке калибров
- Традиционные предписания электродинамики выбирают уникального представителя из класса эквивалентности
- Подходят для абелевых калибровочных теорий, но не для неабелевых
- Более сложные подходы нарушают свободу калибровки с помощью дополнительного члена в лагранжевой плотности
-
Калибровочные пучки и идеальная вертикаль
- Геометрическое описание формализма BRST через пучки волокон
- Измерительное поле может быть локальным участком или соединением между волокнами
- Калибровочное преобразование может быть пассивным или вертикальным диффеоморфизмом
- Основное калибровочное расслоение локально изоморфно U × F, где F изоморфен группе Ли G
- Глобальное правильное действие Rg должно быть автоморфизмом по отношению к многообразной структуре P
- Идеальная вертикаль VE состоит из прямолинейных и вертикальных векторных полей
-
Теория поля и калибровочное расслоение
- Теория поля определяется в терминах полей на калибровочном расслоении P.
- Поля содержат представления калибровочной группы G и других групп симметрии.
- Пространство Pl содержит локальные многочлены в полях и их производных.
-
Фундаментальная лагранжева плотность
- Фундаментальная лагранжева плотность лежит в подпространстве Pl_BOS_0.
- Она инвариантна к левому и правому действиям калибровочной группы, а также к локальным калибровочным преобразованиям.
-
Оператор BRST и асимптотическое пространство Фока
- Оператор BRST s_BOS_B связан с оператором Ward W(δλ).
- Оператор BRST нильпотентен в степени 2 и связан с внутренней производной.
- В гамильтоновом пертурбативном формализме оператор BRST является сохраняющимся зарядом.
-
Асимптотические состояния и когомологии BRST
- Асимптотические состояния определяются как BRST-замкнутые и точные состояния.
- Истинный лагранжиан находится в ядре оператора BRST, но не в его образе.
- Асимптотические состояния соответствуют классам эквивалентности при локальном калибровочном преобразовании.
-
Квантование и когомологии BRST
- Внутреннее произведение строится как часть гамильтонова пертурбативного аппарата.
- Пространство Фока снабжено лестничными операторами и положительным полуопределенным внутренним произведением.
- Асимптотическое пространство состояний является гильбертовым пространством, полученным из пространства Крейна.
-
Пертурбативные расчеты и асимптотические состояния
- Расчеты возмущений выполняются на основе картины взаимодействия.
- Начальные и конечные состояния невзаимодействующего гамильтониана постепенно преобразуются в состояния полного гамильтониана.
- Ни одно поле, введенное в рамках процедуры фиксации калибровки BRST, не появится в асимптотических состояниях теории с фиксированной калибровкой.
-
Расширение ряда Дайсона
- Включает вершины, связывающие “физические” и “нефизические” частицы
- Вершины соединяют “нефизические” частицы друг с другом
-
Ответ Куго–Одзимы на вопросы унитарности
- Куго и Одзима открыли критерий ограничения цвета в КХД
- Их вклад в формализм BRST менее известен
-
Поля в лагранжиане
- Цветовое поле КХД: Aμ
- Призрак Фаддеева–Попова: c
- Антигост: b
- Вспомогательное поле: B
-
Первая лагранжева плотность
- Включает ковариантную производную по калибровочному полю
- Призрак Фаддеева–Попова имеет геометрическую интерпретацию
-
Преобразование полей при калибровочном преобразовании
- Задается с помощью оператора начисления QB
- Оператор начисления определяется через образующие группы Ли
-
Свойства полей
- Анти-призрак b является множителем Лагранжа
- Вспомогательное поле B определяется через отношения с δλ
- Все поля эрмитовы, кроме параметра δλ
-
Одночастичные состояния теории
- В адиабатическом пределе g → 0 есть два типа квантов
- Кванты антигума и калибровочный бозон не проявляются в асимптотических состояниях
-
Фиксация датчика при квантовании BRST
- Процедура фиксации датчика ограничивает интеграл по траектории
- Функция фиксации датчика f(A) определяет калибр
- Лагранжева плотность, фиксирующая калибровку, зависит от f(A) и полей-призраков
-
Примеры фиксации датчика
- Гупта-Блейлер датчик в электромагнетизме: f(A) = ∂μAμ
- Лагранжева плотность: Lgf = −iQ((∂μAμ)∗c¯)
-
Калибровочные условия и BRST
- Калибровочные условия вводятся для перезаписи калибровочного условия.
- Вспомогательное поле Наканиши-Лотрупа используется для интегрирования калибровочного условия.
- После интегрирования вспомогательного поля получаем знакомую форму лагранжиана.
-
Θ-Датчики в теориях Янга-Миллса
- Для неабелевых калибровочных теорий используется обобщенный класс θ-датчиков.
- Лагранжиан фиксируется калибровкой, что изменяет действие и интеграл по траектории.
- Симметрия BRST сохраняется, гарантируя независимость физических наблюдаемых от выбора калибровки.
-
Математический подход к BRST
- BRST применим к гамильтоновым действиям калибровочных групп.
- Используется формализм Баталина-Вилковиского для описания BRST.
- Конструкция BRST основана на симплектической редукции и комплексе Кошуля.
-
Конструкция BRST для гамильтоновых действий
- Гамильтоново действие калибровочной группы G в фазовом пространстве M.
- Используется алгебра Ли g и обычное значение карты моментов Φ.
- Построение комплекса Кошуля и комплекса Шевалле-Эйленберга.
-
Применение BRST
- BRST используется для описания калибровочных теорий.
- BRST сохраняет симметрию и унитарность теории.
- BRST важен для квантовой теории поля.
-
Спектральная последовательность и когомологии
- Первый член спектральной последовательности вычисляет когомологии вертикального дифференциала δ.
- Второй член спектральной последовательности вычисляет когомологии горизонтального дифференциала d.
- Спектральная последовательность разрушается при втором члене, сосредоточиваясь в нулевой степени.
-
Формализм Баталина–Вилковиски
- Формализм Баталина–Вилковиски применяется в квантовой хромодинамике.
- Формализм используется для отмены аномалий в Лагранже.
-
Глава 16 Пескин и Шредер
- Глава 16 из книги Пескин и Шредер обсуждает формализм BRST и его применение в QFT.
- Книга подходит для неспециалистов, но связи с геометрией опущены.
-
Глава 12 Геккелер и Шюкер
- Глава 12 из книги Геккелер и Шюкер обсуждает взаимосвязь между формализмом BRST и геометрией калибровочных расслоений.
- Статья Шюккера 1987 года аналогична этой главе.
-
Математическая обработка
- Основные документы BRST включают работы Тютина и Kugo–Ojima.
- Виттен рассматривает топологические инварианты и оператор BRST.
-
Альтернативные точки зрения
- Системы BRST анализируются с точки зрения теории операторов.
- Теоретико-измерительный взгляд на метод BRST представлен в лекциях Карло Бекки.
-
Внешние ссылки
- Первые когомологии доступны на arxiv.org.
- Томас Шукер обсуждает когомологическое построение решений Сторы.