Оглавление
- 1 Частная производная
- 1.1 Определение частной производной
- 1.2 История и обозначения
- 1.3 Определение и свойства
- 1.4 Примеры и обозначения
- 1.5 Градиент
- 1.6 Обозначения и примеры
- 1.7 Определение градиента
- 1.8 Пример с функцией z = x^2 + xy + y^2
- 1.9 Частные производные более высокого порядка
- 1.10 Первообразный аналог
- 1.11 Приложения
- 1.12 Частные производные в оптимизации
- 1.13 Термодинамика, квантовая механика и математическая физика
- 1.14 Дифференциальные коэффициенты
- 1.15 Изменение размера изображения
- 1.16 Экономика
- 1.17 Дополнительные темы
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Частная производная – Arc.Ask3.Ru
Частная производная
-
Определение частной производной
- Частная производная функции от нескольких переменных — это производная по одной из переменных при постоянных остальных.
- Обозначается как ∂f/∂x, где x — переменная, по которой берется производная.
- Используется в векторном исчислении и дифференциальной геометрии.
-
История и обозначения
- Символ ∂ введен маркизом де Кондорсе в 1770 году.
- Современная система обозначений создана Адриеном-Мари Лежандром в 1786 году.
- Карл Густав Якоби вновь ввел символ в 1841 году.
-
Определение и свойства
- Частная производная определяется как предел отношения изменения функции к изменению переменной.
- Функция может быть частично дифференцируема, если все частные производные существуют и непрерывны в окрестности точки.
- Частная производная может быть смешанной, если направление производной не повторяется.
-
Примеры и обозначения
- Частные производные первого порядка: ∂f/∂x = f’x.
- Частные производные второго порядка: ∂2f/∂x2 = f”xx.
- Смешанные производные второго порядка: ∂2f/∂y∂x = (f’x)’y.
- Частные и смешанные производные высшего порядка: ∂i+j+kf/∂x^i∂y^j∂z^k = f^{(i,j,k).
-
Градиент
- Важный пример функции нескольких переменных — скалярнозначная функция f(x1, …, xn) в евклидовом пространстве Rn.
- Градиент f в точке a — это вектор ∇f(a) = (∂f/∂x1(a), …, ∂f/∂xn(a)).
- Градиент создает векторное поле.
-
Обозначения и примеры
- В трехмерном евклидовом пространстве ∇ = [∂/∂x]i^ + [∂/∂y]j^ + [∂/∂z]k^.
-
Определение градиента
- Градиент функции f(x) определяется как предел производной по направлению вектора v.
- Производная по направлению скалярной функции f(x) вдоль вектора v определяется как предел отношения изменения функции к изменению аргумента.
-
Пример с функцией z = x^2 + xy + y^2
- Функция z = x^2 + xy + y^2 определяет поверхность в евклидовом пространстве.
- Частные производные позволяют найти наклон касательных линий к поверхности.
- Частная производная по x в точке (1, 1) равна 3.
-
Частные производные более высокого порядка
- Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично одномерным функциям.
- Перекрестные частные производные получаются путем взятия частной производной от одной переменной по другой.
- Теорема Шварца утверждает, что перекрестные частные производные не зависят от порядка переменных.
-
Первообразный аналог
- Частные производные могут быть использованы для восстановления исходной функции.
- Частичный интеграл позволяет частично восстановить исходную функцию.
- Не каждый набор функций может быть набором всех частных производных одной функции.
-
Приложения
- Частные производные используются в геометрии для определения скорости изменения объема конуса.
- Полная производная учитывает косвенные зависимости между переменными.
- Полная производная может быть представлена вектором градиента.
-
Частные производные в оптимизации
- Частные производные используются в задачах оптимизации с более чем одной переменной выбора.
- Пример: максимизация прибыли фирмы в зависимости от выбора количеств двух видов продукции.
- Условия первого порядка: nx = 0 = ny.
-
Термодинамика, квантовая механика и математическая физика
- Частные производные появляются в термодинамических уравнениях и квантовой механике.
- Примеры: уравнение Гиббса-Дюгема, волновое уравнение Шредингера.
- Переменные могут быть отношениями простых переменных, таких как молярные доли.
-
Дифференциальные коэффициенты
- Дифференциальные коэффициенты формируются в постоянных соотношениях.
- Примеры: (∂x1/∂x2)x1x3 = −x1/(1-x2), (∂x3/∂x2)x1x3 = −x3/(1-x2).
- Соотношения мольных долей могут быть записаны для трехкомпонентных и многокомпонентных систем.
-
Изменение размера изображения
- Частные производные важны для алгоритмов изменения размера изображений.
- Алгоритмы “вырезание швов” присваивают пикселям числовую “энергию”.
- Формула для определения энергии пикселя зависит от конструкций частных производных.
-
Экономика
- Частные производные играют важную роль в экономике.
- Примеры: функция общественного потребления, предельная склонность к потреблению.
-
Дополнительные темы
- Оператор д’Аламбера, правило цепочки, curl, дивергенция, внешняя производная, повторяющийся интеграл, матрица Якоби и определитель, оператор Лапласа, многовариантное исчисление, симметрия вторых производных, правило тройного произведения.