Число Грассмана
-
Определение и свойства чисел Грассмана
- Числа Грассмана — элементы внешней алгебры комплексного векторного пространства.
- Частный случай одномерной алгебры — двойственное число.
- Числа Грассмана используются в суперпространстве для суперсимметрии.
-
Антикоммутационные объекты
- Антикоммутирующие объекты возникают в дифференциальной геометрии.
- Числа Грассмана генерируются антикоммутирующими элементами.
- Числа Грассмана ведут себя как обычные числа, их можно складывать, умножать и делить.
-
Суперматематика и физика
- Суперматематика основана на числах Грассмана.
- В физике антикоммутационное поведение связано с квантово-механическим поведением фермионов.
- Числа Грассмана соответствуют волновым функциям фермионов.
-
Формальное определение
- Числа Грассмана определяются как внешняя алгебра комплексного векторного пространства.
- Алгебра Грассмана порождается антикоммутирующими переменными.
- Размерность алгебры Грассмана равна 2n.
-
Свойства и инволюция
- В конечномерном случае душа нильпотентна.
- В бесконечномерном случае душа может быть нильпотентной или нет.
- Комплексные числа обычно используются для определения чисел Грассмана.
- Вводятся операторы инволюции для определения реальных и воображаемых чисел Грассмана.
-
Произведения чисел Грассмана
- Произведения четного числа переменных Грассмана коммутируют, их называют c-числами.
- a-числа иногда называют антикоммутирующими c-числами.
- Разложение на четные и нечетные подпространства обеспечивает Z2-оценивание по алгебре.
-
Алгебраические свойства чисел Грассмана
- c-числа образуют подалгебру из Λ, a-числа не образуют подалгебру.
- Определение чисел Грассмана позволяет проводить математический анализ аналогично анализу комплексных чисел.
- Можно определять суперголоморфные функции, производные и интегралы.
-
Спинорное пространство
- Спинорное пространство определяется как грассмановская или внешняя алгебра о пространстве спиноров Вейля.
- Волновые функции n фермионов принадлежат ⋀nW.
-
Интеграция по числам Грассмана
- Интегралы по числам Грассмана известны как интегралы Березина.
- Интегрирование должно обладать линейностью и формулой частичного интегрирования.
- Разложение по Тейлору прекращается по истечении двух сроков.
- Единственной линейной функцией, удовлетворяющей условиям, является константа a, умноженная на B.
-
Соглашения и комплексная интеграция
- Неоднозначность возникает при интегрировании по нескольким числам Грассмана.
- Комплексное сопряжение аналогично эрмитову сопряжению операторов.
- Интеграл Гаусса равен θθ*θ, где θ и θ* независимы.
-
Матричные представления
- Числа Грассмана могут быть представлены матрицами.
- Алгебра Грассмана на n образующих может быть представлена матрицами 2n × 2n.
- Эти матрицы можно рассматривать как повышающие операторы в гильбертовом пространстве из n идентичных фермионов.
-
Обобщения
- Существуют обобщения для чисел Грассмана с N переменными.
- Они полезны для вычисления гиперопределителей и дискриминантов многочленов.
- В предельном случае N стремится к бесконечности можно определить аналитические функции.