Оглавление
Целочисленный многочлен
-
Определение целочисленных многочленов
- Целочисленные многочлены (числовые многочлены) — это многочлены, значения которых являются целыми числами для всех целых чисел.
- Каждый многочлен с целыми коэффициентами является целочисленным, но обратное неверно.
-
Классификация целочисленных многочленов
- Класс целочисленных многочленов был полностью описан Джорджем Полем в 1915 году.
- Внутри кольца многочленов Q[t] подкольцо целочисленных многочленов является свободной абелевой группой.
- В основе лежат многочлены для k = 0, 1, 2, …, то есть биномиальные коэффициенты.
- Каждый целочисленный многочлен может быть записан как целочисленная линейная комбинация биномиальных коэффициентов ровно одним способом.
-
Фиксированные простые делители
- Целочисленные многочлены могут быть использованы для решения вопросов о фиксированных делителях многочленов.
- Многочлены P с целыми коэффициентами, которые всегда принимают четные числовые значения, имеют фиксированный простой делитель 2.
- В теории простых чисел важно понимать случай, когда P не имеет фиксированного простого делителя (свойство Буняковского).
- Наибольший фиксированный простой делитель также является наибольшим простым общим множителем коэффициентов в представлении P через биномиальные коэффициенты.
-
Другие кольца и приложения
- Числовые многочлены могут быть определены над другими кольцами и полями.
- K-теория BU (n) — это числовые (симметричные) многочлены.
- Многочлен Гильберта кольца многочленов с k + 1 переменными является числовым многочленом (t + k k).