Лемма Гензеля

Оглавление1 Лемма Гензеля1.1 Лемма Хенселя1.2 Обобщение на коммутативные кольца1.3 Модульное снижение и подъем1.4 Процесс подъема1.5 Лемма Хенселя для коммутативных колец1.6 […]

Лемма Гензеля

  • Лемма Хенселя

    • Лемма Хенселя утверждает, что простой корень многочлена по модулю простого числа p может быть поднят до корня по модулю любой степени p.  
    • В более общем случае, факторизация многочлена по модулю p на взаимно простые многочлены может быть преобразована в факторизацию по модулю любой степени p.  
  • Обобщение на коммутативные кольца

    • Лемма Хенселя обобщена на случай многочленов над произвольным коммутативным кольцом.  
    • В этом случае p заменяется максимальным идеалом, а взаимно простые многочлены означают многочлены, порождающие идеал, содержащий 1.  
  • Модульное снижение и подъем

    • Сокращение по модулю I означает замену элементов R их изображениями в R/I.  
    • Равенство по модулю I означает, что многочлены имеют одинаковые коэффициенты по модулю I.  
    • Разложение многочлена по модулю I на множители состоит из двух многочленов, равных по модулю I.  
  • Процесс подъема

    • Подъем является обратным процессом сокращения.  
    • Подъем состоит в замене элементов R/I элементами R или R/I^k для k > 1.  
  • Лемма Хенселя для коммутативных колец

    • Лемма Хенселя утверждает, что каждая факторизация многочлена по модулю максимального идеала может быть преобразована в факторизацию по модулю степени максимального идеала.  
    • В частном случае, если многочлен имеет простой корень по модулю максимального идеала, этот корень может быть поднят до корня по модулю степени максимального идеала.  
  • Переход к завершению adic

    • Завершение топологии, связанной с максимальным идеалом, называется p-адическими целыми числами.  
    • Лемма Хенселя подразумевает, что каждая факторизация многочлена по модулю максимального идеала может быть сведена к факторизации в p-адических целых числах.  
  • Доказательство леммы Хенселя

    • Доказательство основано на тождестве Безу и линейном и квадратичном подъеме.  
    • Взаимно простые многочлены удовлетворяют тождеству Безу, что позволяет определить их и доказать лемму Хенселя.  
  • Линейный подъем

    • Линейный подъем позволяет поднять коэффициент разложения по модулю I^n к факторизации по модулю I^(n+1).  
    • Для подъема по модулю I^N для больших N можно использовать линейный подъем или квадратичный подъем.  
    • Квадратичный подъем основан на свойстве, что для некоторого натурального числа k существуют многочлены δf, δg ∈ I^kR[X], такие, что δf < δg и f + δf и g + δg удовлетворяют тождеству формы Безу.  
  • Уникальность

    • Линейный подъем и квадратичный подъем позволяют найти уникальные многочлены δf и δg по модулю I^n.  
    • Доказательство уникальности основано на индукции и использовании гипотезы о существовании δf и δg.  
  • Пример

    • Пример показывает, что многочлен X^6 — 2 неприводим в Q[X] по модулю 2, но неприводим в F[X] по модулю 7.  
    • Полная факторизация X^6 — 2 в Z[X] и Q[X] является X^6 — 2 = (X — α)(X — β)(X — γ)(X — δ)(X — ε)(X — ζ)(X — η)(X — θ)(X — ν)(X — λ)(X — μ)(X — δi)(X — εi)(X — ζi)(X — ηi)(X — θi)(X — νi)(X — λi)(X — μi)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(  
  • Лемма Гензеля

    • Лемма Гензеля позволяет найти корни многочлена по модулю p.  
    • Если f(r) ≡ 0 по модулю p, то существует s ≡ r по модулю pk.  
    • Если f'(r) ≡ 0 по модулю p, то может существовать несколько s.  
  • Разложение по Тейлору

    • Разложение по Тейлору позволяет записать s − r = tpk.  
    • Если m ≤ k, то t существует однозначно по модулю pm.  
    • Если f'(r) не делится на p, то t существует однозначно по модулю pm.  
  • Критерий неприводимости

    • Если a0, an ≠ 0, то многочлен не может быть неприводимым.  
    • В Q2[X] многочлен f(X) = X6 + 10X — 1 не может быть неприводимым.  
    • В Q7[X] многочлен может быть неприводимым.  
  • Фробениус и корни единства

    • Фробениус дает ненулевой многочлен xp — a, который имеет нулевую производную.  
    • p-й корень unity не содержится в Fp, но существуют решения xp — x = x(xp — 1 — 1).  
    • Все ненулевые элементы Fp× имеют решения.  
  • Подъем Гензеля

    • Подъем Гензеля позволяет поднять корень r по модулю pk до нового корня s по модулю pk+1.  
    • Новый корень s удовлетворяет f'(s) ≡ f'(r) ≢ 0 по модулю p.  
    • Процесс можно повторять, начиная с корня rk.  
  • Лемма Гензеля для p-адических чисел

    • В p-адических числах рекурсия от rk к rk+1 может быть выражена более интуитивно.  
    • Лемма Гензеля может быть применена даже при f'(a) ≡ 0 по модулю p.  
    • Существует уникальное p-адическое целое число b, такое что f(b) = 0 и |b — a|p < |f'(a)|p.  
  • Примеры

    • Если p — нечетное простое число, то a имеет квадратный корень в Zp.  
    • Закон квадратичной взаимности позволяет проверить, является ли a ненулевым квадратичным остатком по модулю p.  
    • Пример с 7-адическими квадратными корнями из 2 показывает, как использовать лемму Гензеля для нахождения корней.  
  • Лемма Гензеля и её обобщения

    • Лемма Гензеля даёт квадратный корень из 2 в Z7, который соответствует 4 по модулю 7.  
    • Более общая версия леммы Гензеля даёт уникальный 2-адический квадратный корень из 17, соответствующий 1 по модулю 4.  
    • Для каждого k, по крайней мере, 3, есть четыре корня из x2 − 17 по модулю 2k, но они сходятся к двум 2-адическим пределам.  
  • Доказательство, что c ≡ 1 по модулю 9 является кубом в Z3

    • Основная лемма Гензеля не может быть использована, так как f′(r) ≡ 0 по модулю 3 для каждого r.  
    • Общая версия леммы Гензеля требует, чтобы c ≡ 1 по модулю 27.  
    • Если c ≡ 1 по модулю 9, то c ≡ 1, 10 или 19 по модулю 27, и можно применить общую лемму Гензеля три раза.  
  • Обобщения на несколько переменных

    • Если f(x) ∈ A[x] и a ∈ A является приблизительным корнем, то существует точный корень b ∈ A, близкий к a.  
    • Если f′(a) не является делителем нуля, то b уникально.  
    • В многомерном случае, если f(a) ≡ 0 по модулю m и det Jf(a) является единицей, то существует решение задачи f(b) = 0 с b ≡ a по модулю m.  
  • Связанные понятия

    • Полнота кольца не является необходимым условием для свойства Хенселя.  
    • Горо Адзумайя определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее свойству Хенселя, для максимального идеала m.  
    • Масаеси Нагата доказал, что для любого коммутативного локального кольца A существует наименьшее кольцо Ah, содержащее A и являющееся хенселевым относительно mAh.  
    • Если A нетерово, то Ah также будет нетеровым и алгебраичным.  

Полный текст статьи:

Лемма Гензеля

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх