Оглавление
- 1 Лемма Гензеля
- 1.1 Лемма Хенселя
- 1.2 Обобщение на коммутативные кольца
- 1.3 Модульное снижение и подъем
- 1.4 Процесс подъема
- 1.5 Лемма Хенселя для коммутативных колец
- 1.6 Переход к завершению adic
- 1.7 Доказательство леммы Хенселя
- 1.8 Линейный подъем
- 1.9 Уникальность
- 1.10 Пример
- 1.11 Лемма Гензеля
- 1.12 Разложение по Тейлору
- 1.13 Критерий неприводимости
- 1.14 Фробениус и корни единства
- 1.15 Подъем Гензеля
- 1.16 Лемма Гензеля для p-адических чисел
- 1.17 Примеры
- 1.18 Лемма Гензеля и её обобщения
- 1.19 Доказательство, что c ≡ 1 по модулю 9 является кубом в Z3
- 1.20 Обобщения на несколько переменных
- 1.21 Связанные понятия
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Лемма Гензеля
Лемма Гензеля
-
Лемма Хенселя
- Лемма Хенселя утверждает, что простой корень многочлена по модулю простого числа p может быть поднят до корня по модулю любой степени p.
- В более общем случае, факторизация многочлена по модулю p на взаимно простые многочлены может быть преобразована в факторизацию по модулю любой степени p.
-
Обобщение на коммутативные кольца
- Лемма Хенселя обобщена на случай многочленов над произвольным коммутативным кольцом.
- В этом случае p заменяется максимальным идеалом, а взаимно простые многочлены означают многочлены, порождающие идеал, содержащий 1.
-
Модульное снижение и подъем
- Сокращение по модулю I означает замену элементов R их изображениями в R/I.
- Равенство по модулю I означает, что многочлены имеют одинаковые коэффициенты по модулю I.
- Разложение многочлена по модулю I на множители состоит из двух многочленов, равных по модулю I.
-
Процесс подъема
- Подъем является обратным процессом сокращения.
- Подъем состоит в замене элементов R/I элементами R или R/I^k для k > 1.
-
Лемма Хенселя для коммутативных колец
- Лемма Хенселя утверждает, что каждая факторизация многочлена по модулю максимального идеала может быть преобразована в факторизацию по модулю степени максимального идеала.
- В частном случае, если многочлен имеет простой корень по модулю максимального идеала, этот корень может быть поднят до корня по модулю степени максимального идеала.
-
Переход к завершению adic
- Завершение топологии, связанной с максимальным идеалом, называется p-адическими целыми числами.
- Лемма Хенселя подразумевает, что каждая факторизация многочлена по модулю максимального идеала может быть сведена к факторизации в p-адических целых числах.
-
Доказательство леммы Хенселя
- Доказательство основано на тождестве Безу и линейном и квадратичном подъеме.
- Взаимно простые многочлены удовлетворяют тождеству Безу, что позволяет определить их и доказать лемму Хенселя.
-
Линейный подъем
- Линейный подъем позволяет поднять коэффициент разложения по модулю I^n к факторизации по модулю I^(n+1).
- Для подъема по модулю I^N для больших N можно использовать линейный подъем или квадратичный подъем.
- Квадратичный подъем основан на свойстве, что для некоторого натурального числа k существуют многочлены δf, δg ∈ I^kR[X], такие, что δf < δg и f + δf и g + δg удовлетворяют тождеству формы Безу.
-
Уникальность
- Линейный подъем и квадратичный подъем позволяют найти уникальные многочлены δf и δg по модулю I^n.
- Доказательство уникальности основано на индукции и использовании гипотезы о существовании δf и δg.
-
Пример
- Пример показывает, что многочлен X^6 — 2 неприводим в Q[X] по модулю 2, но неприводим в F[X] по модулю 7.
- Полная факторизация X^6 — 2 в Z[X] и Q[X] является X^6 — 2 = (X — α)(X — β)(X — γ)(X — δ)(X — ε)(X — ζ)(X — η)(X — θ)(X — ν)(X — λ)(X — μ)(X — δi)(X — εi)(X — ζi)(X — ηi)(X — θi)(X — νi)(X — λi)(X — μi)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(X — λii)(X — μii)(X — δii)(X — εii)(X — ζii)(X — ηii)(X — θii)(X — νii)(
-
Лемма Гензеля
- Лемма Гензеля позволяет найти корни многочлена по модулю p.
- Если f(r) ≡ 0 по модулю p, то существует s ≡ r по модулю pk.
- Если f'(r) ≡ 0 по модулю p, то может существовать несколько s.
-
Разложение по Тейлору
- Разложение по Тейлору позволяет записать s − r = tpk.
- Если m ≤ k, то t существует однозначно по модулю pm.
- Если f'(r) не делится на p, то t существует однозначно по модулю pm.
-
Критерий неприводимости
- Если a0, an ≠ 0, то многочлен не может быть неприводимым.
- В Q2[X] многочлен f(X) = X6 + 10X — 1 не может быть неприводимым.
- В Q7[X] многочлен может быть неприводимым.
-
Фробениус и корни единства
- Фробениус дает ненулевой многочлен xp — a, который имеет нулевую производную.
- p-й корень unity не содержится в Fp, но существуют решения xp — x = x(xp — 1 — 1).
- Все ненулевые элементы Fp× имеют решения.
-
Подъем Гензеля
- Подъем Гензеля позволяет поднять корень r по модулю pk до нового корня s по модулю pk+1.
- Новый корень s удовлетворяет f'(s) ≡ f'(r) ≢ 0 по модулю p.
- Процесс можно повторять, начиная с корня rk.
-
Лемма Гензеля для p-адических чисел
- В p-адических числах рекурсия от rk к rk+1 может быть выражена более интуитивно.
- Лемма Гензеля может быть применена даже при f'(a) ≡ 0 по модулю p.
- Существует уникальное p-адическое целое число b, такое что f(b) = 0 и |b — a|p < |f'(a)|p.
-
Примеры
- Если p — нечетное простое число, то a имеет квадратный корень в Zp.
- Закон квадратичной взаимности позволяет проверить, является ли a ненулевым квадратичным остатком по модулю p.
- Пример с 7-адическими квадратными корнями из 2 показывает, как использовать лемму Гензеля для нахождения корней.
-
Лемма Гензеля и её обобщения
- Лемма Гензеля даёт квадратный корень из 2 в Z7, который соответствует 4 по модулю 7.
- Более общая версия леммы Гензеля даёт уникальный 2-адический квадратный корень из 17, соответствующий 1 по модулю 4.
- Для каждого k, по крайней мере, 3, есть четыре корня из x2 − 17 по модулю 2k, но они сходятся к двум 2-адическим пределам.
-
Доказательство, что c ≡ 1 по модулю 9 является кубом в Z3
- Основная лемма Гензеля не может быть использована, так как f′(r) ≡ 0 по модулю 3 для каждого r.
- Общая версия леммы Гензеля требует, чтобы c ≡ 1 по модулю 27.
- Если c ≡ 1 по модулю 9, то c ≡ 1, 10 или 19 по модулю 27, и можно применить общую лемму Гензеля три раза.
-
Обобщения на несколько переменных
- Если f(x) ∈ A[x] и a ∈ A является приблизительным корнем, то существует точный корень b ∈ A, близкий к a.
- Если f′(a) не является делителем нуля, то b уникально.
- В многомерном случае, если f(a) ≡ 0 по модулю m и det Jf(a) является единицей, то существует решение задачи f(b) = 0 с b ≡ a по модулю m.
-
Связанные понятия
- Полнота кольца не является необходимым условием для свойства Хенселя.
- Горо Адзумайя определил коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее свойству Хенселя, для максимального идеала m.
- Масаеси Нагата доказал, что для любого коммутативного локального кольца A существует наименьшее кольцо Ah, содержащее A и являющееся хенселевым относительно mAh.
- Если A нетерово, то Ah также будет нетеровым и алгебраичным.