Дифференциальная геометрия поверхностей

• Основы дифференциальной геометрии

  • Дифференциальная геометрия изучает свойства кривых и поверхностей в пространстве. 
  • Геометрия изучает свойства кривых и поверхностей, используя математические методы. 
  • Геометрия включает в себя изучение кривизны, кривизны и других геометрических характеристик. 

• Векторные поля и их производные

  • Векторные поля описывают движение объектов в пространстве. 
  • Производная векторного поля, называемая скобкой Ли, является важным понятием в дифференциальной геометрии. 
  • Векторные поля на поверхностях образуют алгебру Ли. 

• Первая и вторая фундаментальные формы

  • Первая фундаментальная форма описывает движение поверхности в пространстве. 
  • Вторая фундаментальная форма описывает степень движения в направлении нормали. 
  • Основные кривизны являются собственными значениями оператора формы. 

• Символы Кристоффеля и уравнения Гаусса-Кодацци

  • Символы Кристоффеля связывают локальные параметры с кривизной поверхности. 
  • Уравнения Гаусса-Кодацци связывают первую и вторую фундаментальные формы. 
  • Теорема эгрегиума позволяет вычислить гауссову кривизну из первой фундаментальной формы. 

• Изометрии и диффеоморфизмы

  • Изометрия сохраняет метрику между двумя открытыми множествами на поверхности. 
  • Диффеоморфизм — это более сильное понятие, чем изометрия, которое также сохраняет ориентацию. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.