Двойное пространство

• Определение векторного пространства

  • Векторное пространство — это множество элементов с заданной структурой, позволяющей выполнять операции сложения и умножения на число. 
  • Векторное пространство должно быть линейно однородным и иметь нулевую точку. 

• Примеры векторных пространств

  • Примеры включают множество всех действительных чисел, множество всех квадратных матриц и пространство всех функций на отрезке. 

• Линейные операции

  • Сложение векторов определяется как операция, которая сохраняет сложение чисел. 
  • Умножение вектора на число определяется как операция, которая сохраняет умножение чисел. 

• Базис векторного пространства

  • Базис векторного пространства — это набор векторов, который линейно независим и образует полную систему. 
  • Базис позволяет однозначно определить вектор по его координатам. 

• Двойственное пространство

  • Двойственное пространство — это пространство, элементы которого являются линейными функционалами на исходном векторном пространстве. 
  • Линейные функционалы на двойственном пространстве могут быть представлены как матрицы, где строки являются координатами векторов исходного пространства. 

• Бесконечномерный случай

  • В бесконечномерном случае базис может быть представлен как набор элементов, индексированных бесконечным множеством. 
  • Двойственное пространство бесконечномерного пространства может быть представлено как пространство функций с конечным числом ненулевых значений. 

• Размерность векторного пространства

  • Размерность векторного пространства определяется как мощность его базиса. 
  • Размерность может быть бесконечной или конечной в зависимости от структуры пространства. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.