Двойной объект

• Определение дуального объекта в теории категорий

  • Дуальный объект в теории категорий является аналогом дуального векторного пространства в линейной алгебре. 
  • Дуализуемый объект — это объект, который допускает двойственность. 
  • Бесконечномерные векторные пространства не дуализуемы в общем случае. 
  • Категория, в которой каждый объект имеет двойственную природу, называется автономной или жесткой. 

• Мотивация и определение дуальности

  • Дуальность в векторном пространстве характеризуется свойством гомоморфизма между векторами и их двойниками. 
  • В теории категорий дуальность объекта определяется как объект с естественным изоморфизмом бифункторов. 
  • В замкнутой моноидальной категории дуальность может быть смоделирована как пространство функционалов. 

• Примеры дуальных объектов

  • В категории векторных пространств над полем дуализуемость объекта эквивалентна его конечномерности. 
  • В категории модулей над кольцом дуализуемость объекта эквивалентна его конечно порожденности и проективности. 
  • В гомотопической категории дуализуемость заостренного спектра связана с двойственностью Спэньера-Уайтхеда. 

• Категории с двойственными значениями

  • Категория с левой или правой двойственностью называется автономной категорией. 
  • Категория с обеими двойственностями называется автономной категорией. 
  • Категория, которая является симметричной и автономной, называется компактной замкнутой категорией. 

• Следы эндоморфизмов дуализуемых объектов

  • Эндоморфизм дуализуемого объекта имеет след, который является эндоморфизмом моноидальной единицы. 
  • След включает в себя след в линейной алгебре и эйлерову характеристику цепного комплекса.