Оглавление
Двойной объект
-
Определение дуального объекта в теории категорий
- Дуальный объект в теории категорий является аналогом дуального векторного пространства в линейной алгебре.
- Дуализуемый объект – это объект, который допускает двойственность.
- Бесконечномерные векторные пространства не дуализуемы в общем случае.
- Категория, в которой каждый объект имеет двойственную природу, называется автономной или жесткой.
-
Мотивация и определение дуальности
- Дуальность в векторном пространстве характеризуется свойством гомоморфизма между векторами и их двойниками.
- В теории категорий дуальность объекта определяется как объект с естественным изоморфизмом бифункторов.
- В замкнутой моноидальной категории дуальность может быть смоделирована как пространство функционалов.
-
Примеры дуальных объектов
- В категории векторных пространств над полем дуализуемость объекта эквивалентна его конечномерности.
- В категории модулей над кольцом дуализуемость объекта эквивалентна его конечно порожденности и проективности.
- В гомотопической категории дуализуемость заостренного спектра связана с двойственностью Спэньера-Уайтхеда.
-
Категории с двойственными значениями
- Категория с левой или правой двойственностью называется автономной категорией.
- Категория с обеими двойственностями называется автономной категорией.
- Категория, которая является симметричной и автономной, называется компактной замкнутой категорией.
-
Следы эндоморфизмов дуализуемых объектов
- Эндоморфизм дуализуемого объекта имеет след, который является эндоморфизмом моноидальной единицы.
- След включает в себя след в линейной алгебре и эйлерову характеристику цепного комплекса.
Полный текст статьи: