Оглавление
- 1 Внешний функтор
- 1.1 Определение Ext
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Основные свойства Ext
- 1.4 Эквивалентность расширений
- 1.5 Бэровская сумма расширений
- 1.6 Построение Ext в абелевых категориях
- 1.7 Производная категория и продукт Yoneda
- 1.8 Определение когомологий
- 1.9 Универсальная охватывающая алгебра
- 1.10 Дополнительные сведения
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Экст функтор – Arc.Ask3.Ru
Внешний функтор
-
Определение Ext
- Ext является производным от функтора Hom.
- Ext используется в гомологической алгебре для определения инвариантов алгебраических структур.
- Ext классифицирует расширения одного модуля по другим.
-
История и развитие
- Ext был введен Рейнхольдом Баером в 1934 году.
- Сэмюэль Эйленберг и Сондерс Маклейн применили Ext к топологии в 1942 году.
- Генри Картан и Эйленберг определили Ext для модулей над любым кольцом в 1956 году.
-
Основные свойства Ext
- Ext0R(A, B) ≅ HomR(A, B).
- Ext1R(A, B) = 0 для проективных или инъективных модулей.
- Ext2R(A, B) = 0 для всех i ≥ 2, если R – основная идеальная область.
- Ext преобразует прямые суммы и произведения в products.
-
Эквивалентность расширений
- Расширения модулей эквивалентны, если существует коммутативная диаграмма.
- Существует взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности расширений и элементами Ext1R(A, B).
-
Бэровская сумма расширений
- Сумма Бэра описывает структуру абелевой группы на Ext1R(A, B).
- Сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение как единичный элемент.
-
Построение Ext в абелевых категориях
- Нобуо Йонеда определил Ext для объектов A и B в абелевой категории C.
- Ext0C(A,B) = HomC(A, B), Ext1C(A, B) – классы эквивалентности расширений.
- Высшие Ext-группы определяются как классы эквивалентности n-расширений.
-
Производная категория и продукт Yoneda
- Группы Ext можно рассматривать как наборы морфизмов в производной категории D(C).
- Продукт Yoneda является билинейной картой, которая связывает морфизмы в производной категории.
- Продукт Yoneda ассоциативен и дает кольцевую структуру для Ext.
-
Определение когомологий
- Групповые когомологии определяются как H∗(G,M) = ExtZ[G]∗(Z,M).
- Когомологии алгебры Ли определяются как H∗(g,M) = ExtUg∗(k,M).
- Когомологии пучков определяются как H∗(X,A) = Ext∗(Z_X,A).
-
Универсальная охватывающая алгебра
- Для коммутативного нетерова локального кольца R с полем вычетов k, ExtR∗(k,k) является универсальной охватывающей алгеброй градуированной алгебры Ли π∗(R).
- Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли от когомологий Андре–Квиллена D∗(k/R,k) до π∗(R), который является изоморфизмом при k нулевой характеристики.
-
Дополнительные сведения
- Смотрите также глобальный аспект, разрешение полосы, Группа Гротендика, Локальная двойственность Гротендика.