Оглавление
- 1 Линейная алгебраическая группа
- 1.1 Определение линейных алгебраических групп
- 1.2 История и развитие теории
- 1.3 Основные понятия и свойства
- 1.4 Структурная теория
- 1.5 Гомоморфизмы и изоморфизмы
- 1.6 Примеры и приложения
- 1.7 Нормализаторы, центры и централизаторы
- 1.8 Свойства связных линейных алгебраических групп
- 1.9 Алгебра Ли алгебраической группы
- 1.10 Полупростые и унипотентные элементы
- 1.11 Тори
- 1.12 Унипотентные группы
- 1.13 Борелевские подгруппы
- 1.14 Проективные однородные многообразия GL(3) /P
- 1.15 Полупростые и редуктивные группы
- 1.16 Классификация редуктивных групп
- 1.17 Приложения
- 1.18 Групповые действия и теория геометрических инвариантов
- 1.19 Связанные понятия
- 1.20 Универсальное покрытие и линейные алгебраические группы
- 1.21 Абелевы многообразия
- 1.22 Категории Таннакцев
- 1.23 Свойства алгебраических групп
- 1.24 Группы типа Ли
- 1.25 Теорема Лэнга
- 1.26 Реальная форма и диаграмма Сатаке
- 1.27 Адельная алгебраическая группа и гипотеза Вейля о числах Тамагавы
- 1.28 Классификация Ленглендса и программа Ленглендса
- 1.29 Торсор и неабелевы когомологии
- 1.30 Псевдоредуктивная группа и дифференциальная теория Галуа
- 1.31 Распределение на линейной алгебраической группе
- 1.32 Записи и рекомендации
- 1.33 Полный текст статьи:
- 2 Линейная алгебраическая группа — Arc.Ask3.Ru
Линейная алгебраическая группа
-
Определение линейных алгебраических групп
- Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых n × n матриц, определяемая полиномиальными уравнениями.
- Примеры: ортогональная группа, GL(n), SL(n), U, B, Gm, Ga.
-
История и развитие теории
- Основоположники: Маурер, Шевалле, Колчин.
- Арман Борель построил большую часть теории в 1950-х годах.
- Примеры применения: определение групп Шевалле.
-
Основные понятия и свойства
- Линейная алгебраическая группа определяется как подгруппа GL(n) над алгебраически замкнутым полем k.
- Гомоморфизмы линейных алгебраических групп определяются регулярными функциями.
- Линейные алгебраические группы являются аффинными групповыми схемами конечного типа над полем k.
-
Структурная теория
- Линейные алгебраические группы анализируются через мультипликативную и аддитивную группы.
- Каждое представление мультипликативной группы является прямой суммой неприводимых представлений.
- Каждое представление аддитивной группы является итерационным расширением тривиальных представлений.
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизмы определяются регулярными функциями и превращают линейные алгебраические группы в категорию.
- Изоморфизмы определяются как изоморфизмы абстрактных групп.
-
Примеры и приложения
- Примеры: GL(n), SL(n), Gm, Ga, U, B.
- Приложения: классификация групп Ли, определение групп Шевалле, изучение алгебраических групп.
-
Нормализаторы, центры и централизаторы
- Нормализатор, центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G рассматриваются как схемы замкнутых подгрупп G.
- Если они гладкие по k, то являются линейными алгебраическими группами.
-
Свойства связных линейных алгебраических групп
- Связная линейная алгебраическая группа G над полем k определяется абстрактной группой G (k).
- Если поле k совершенное или G редуктивна, то G является унирациональной по отношению к k.
- Если k бесконечно, то G (k) является плотной по Зарисскому в G.
-
Алгебра Ли алгебраической группы
- Алгебра Ли g алгебраической группы G определяется как касательное пространство T1 (G) в единичном элементе 1 ∈ G(k) или как пространство левоинвариантных производных.
- Переход от G к g — это процесс дифференциации.
- Связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется её алгеброй Ли h ⊂ g.
-
Полупростые и унипотентные элементы
- Для алгебраически замкнутого поля k матрица g в GL (n,k) называется полупростой, если она диагонализуема, и унипотентной, если матрица g − 1 нильпотентна.
- Каждый элемент g из GL (n, k) может быть записан как произведение g = gssgu, где gss полупростой, gu унипотентный, а gss и gu коммутируют.
- Для любой линейной алгебраической группы G ∈ GL (n) над полем k, k-точка G называется полупростой или унипотентной, если она полупроста или унипотентна в GL (n,k).
-
Тори
- Тор над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную (Gm)n.
- Для линейной алгебраической группы G максимальный тор в G означает тор, который не содержится ни в одном большем торе.
- Любые два максимальных тора в группе G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом G (k).
-
Унипотентные группы
- Групповая схема над полем k называется унипотентной, если она изоморфна замкнутой схеме подгруппы Un для некоторого n.
- Линейная алгебраическая группа G над полем k унипотентна тогда и только тогда, когда каждый элемент G (k¯) является унипотентным.
- Каждая связная разрешимая линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением тора с унипотентной группой.
-
Борелевские подгруппы
- Борелевская подгруппа G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу.
- Любые две борелевские подгруппы связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G (k).
- Борелевские подгруппы являются параболическими подгруппами, и G / B является флаговым многообразием G.
-
Проективные однородные многообразия GL(3) /P
- Флаговое многообразие всех цепочек линейных подпространств с Vi размерностью i
- Точка
- Проективное пространство P2 прямых в A3
- Двойственное проективное пространство P2 плоскостей в A3
-
Полупростые и редуктивные группы
- Полупростая группа: каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа тривиальна
- Редуктивная группа: каждая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа тривиальна
- Полупростая группа является редуктивной
- Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если Gk¯ является полупростым или редуктивным
-
Классификация редуктивных групп
- Редуктивные группы включают GL(n), SL(n), SO(n) и Sp(2n)
- Классификация редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем дана Клодом Шевалле
- Простые группы классифицируются по диаграммам Дынкина
- Классификация конечных простых групп: большинство конечных простых групп возникают как группа из k-точек простой алгебраической группы
-
Приложения
- Теория представлений: неприводимые представления унипотентных групп тривиальны, неприводимые представления редуктивных групп конечномерны и индексируются по доминирующим весам
- Теория представлений редуктивных групп над полем с нулевой характеристикой эквивалентна теории представлений компактных связных групп Ли
- Теория представлений редуктивных групп над полем с положительной характеристикой менее изучена
-
Групповые действия и теория геометрических инвариантов
- Действие линейной алгебраической группы на многообразие X является морфизмом, удовлетворяющим аксиомам группового действия
- Теория геометрических инвариантов изучает фактор-многообразие X / G, описывающее множество орбит группы на X
- Кольцо инвариантов конечно порождено, если G редуктивна
-
Связанные понятия
- Линейные алгебраические группы допускают варианты: линейные алгебраические моноиды и группы Ли
- Группы Ли могут не иметь структуры линейной алгебраической группы над R
- Анатолий Мальцев показал, что каждую односвязную нильпотентную группу Ли можно рассматривать как унипотентную алгебраическую группу над R
-
Универсальное покрытие и линейные алгебраические группы
- Универсальное покрытие H полупрямого произведения S1 ∈ R2 имеет центр, изоморфный Z, что не является линейной алгебраической группой.
- H нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R.
-
Абелевы многообразия
- Гладкая связная групповая схема, представляющая собой проективное многообразие над полем, называется абелевым многообразием.
- Абелевы многообразия коммутативны, в отличие от линейных алгебраических групп.
- Абелевы многообразия обладают богатой теорией, включая эллиптические кривые, которые важны в теории чисел.
-
Категории Таннакцев
- Конечномерные представления алгебраической группы G образуют таннакианскую категорию RepG.
- Таннакианские категории с «волоконным функтором» эквивалентны аффинным групповым схемам.
- Группа Мамфорда–Тейта и мотивирующая группа Галуа построены с использованием этого формализма.
-
Свойства алгебраических групп
- Некоторые свойства алгебраической группы G можно извлечь из её категории представлений.
- Над полем с нулевой характеристикой RepG является полупростой категорией тогда и только тогда, когда единичный компонент G является проредуктивным.
-
Группы типа Ли
- Конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
-
Теорема Лэнга
- Обобщенное многообразие флагов, разложение Брюа, пара BN, группа Вейля, подгруппа Картана, группа сопряженного типа, параболическая индукция.
-
Реальная форма и диаграмма Сатаке
- Реальная форма (теория Ли), диаграмма Сатаке.
-
Адельная алгебраическая группа и гипотеза Вейля о числах Тамагавы
- Адельная алгебраическая группа, гипотеза Вейля о числах Тамагавы.
-
Классификация Ленглендса и программа Ленглендса
- Классификация Ленглендса, программа Ленглендса, геометрическая программа Ленглендса.
-
Торсор и неабелевы когомологии
- Торсор, неабелевы когомологии, специальная группа, когомологический инвариант, существенная размерность, Кнезер–Гипотеза Титса, гипотеза Серра II.
-
Псевдоредуктивная группа и дифференциальная теория Галуа
- Псевдоредуктивная группа, дифференциальная теория Галуа.
-
Распределение на линейной алгебраической группе
- Распределение на линейной алгебраической группе.
-
Записи и рекомендации
- Записи.
- Рекомендации.
- Внешние ссылки.