Warning: mysqli_query(): MySQL server has gone away in /var/www/www-root/data/www/ask3.ru/wp-includes/class-wpdb.php on line 2345

Warning: mysqli_query(): Error reading result set's header in /var/www/www-root/data/www/ask3.ru/wp-includes/class-wpdb.php on line 2345

Линейная алгебраическая группа — Arc.Ask3.Ru

Оглавление1 Линейная алгебраическая группа1.1 Определение линейных алгебраических групп1.2 История и развитие теории1.3 Основные понятия и свойства1.4 Структурная теория1.5 Гомоморфизмы и […]

Оглавление

Линейная алгебраическая группа

  • Определение линейных алгебраических групп

    • Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых n × n матриц, определяемая полиномиальными уравнениями.  
    • Примеры: ортогональная группа, GL(n), SL(n), U, B, Gm, Ga.  
  • История и развитие теории

    • Основоположники: Маурер, Шевалле, Колчин.  
    • Арман Борель построил большую часть теории в 1950-х годах.  
    • Примеры применения: определение групп Шевалле.  
  • Основные понятия и свойства

    • Линейная алгебраическая группа определяется как подгруппа GL(n) над алгебраически замкнутым полем k.  
    • Гомоморфизмы линейных алгебраических групп определяются регулярными функциями.  
    • Линейные алгебраические группы являются аффинными групповыми схемами конечного типа над полем k.  
  • Структурная теория

    • Линейные алгебраические группы анализируются через мультипликативную и аддитивную группы.  
    • Каждое представление мультипликативной группы является прямой суммой неприводимых представлений.  
    • Каждое представление аддитивной группы является итерационным расширением тривиальных представлений.  
  • Гомоморфизмы и изоморфизмы

    • Гомоморфизмы определяются регулярными функциями и превращают линейные алгебраические группы в категорию.  
    • Изоморфизмы определяются как изоморфизмы абстрактных групп.  
  • Примеры и приложения

    • Примеры: GL(n), SL(n), Gm, Ga, U, B.  
    • Приложения: классификация групп Ли, определение групп Шевалле, изучение алгебраических групп.  
  • Нормализаторы, центры и централизаторы

    • Нормализатор, центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G рассматриваются как схемы замкнутых подгрупп G.  
    • Если они гладкие по k, то являются линейными алгебраическими группами.  
  • Свойства связных линейных алгебраических групп

    • Связная линейная алгебраическая группа G над полем k определяется абстрактной группой G (k).  
    • Если поле k совершенное или G редуктивна, то G является унирациональной по отношению к k.  
    • Если k бесконечно, то G (k) является плотной по Зарисскому в G.  
  • Алгебра Ли алгебраической группы

    • Алгебра Ли g алгебраической группы G определяется как касательное пространство T1 (G) в единичном элементе 1 ∈ G(k) или как пространство левоинвариантных производных.  
    • Переход от G к g — это процесс дифференциации.  
    • Связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется её алгеброй Ли h ⊂ g.  
  • Полупростые и унипотентные элементы

    • Для алгебраически замкнутого поля k матрица g в GL (n,k) называется полупростой, если она диагонализуема, и унипотентной, если матрица g − 1 нильпотентна.  
    • Каждый элемент g из GL (n, k) может быть записан как произведение g = gssgu, где gss полупростой, gu унипотентный, а gss и gu коммутируют.  
    • Для любой линейной алгебраической группы G ∈ GL (n) над полем k, k-точка G называется полупростой или унипотентной, если она полупроста или унипотентна в GL (n,k).  
  • Тори

    • Тор над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную (Gm)n.  
    • Для линейной алгебраической группы G максимальный тор в G означает тор, который не содержится ни в одном большем торе.  
    • Любые два максимальных тора в группе G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом G (k).  
  • Унипотентные группы

    • Групповая схема над полем k называется унипотентной, если она изоморфна замкнутой схеме подгруппы Un для некоторого n.  
    • Линейная алгебраическая группа G над полем k унипотентна тогда и только тогда, когда каждый элемент G (k¯) является унипотентным.  
    • Каждая связная разрешимая линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением тора с унипотентной группой.  
  • Борелевские подгруппы

    • Борелевская подгруппа G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу.  
    • Любые две борелевские подгруппы связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G (k).  
    • Борелевские подгруппы являются параболическими подгруппами, и G / B является флаговым многообразием G.  
  • Проективные однородные многообразия GL(3) /P

    • Флаговое многообразие всех цепочек линейных подпространств с Vi размерностью i  
    • Точка  
    • Проективное пространство P2 прямых в A3  
    • Двойственное проективное пространство P2 плоскостей в A3  
  • Полупростые и редуктивные группы

    • Полупростая группа: каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа тривиальна  
    • Редуктивная группа: каждая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа тривиальна  
    • Полупростая группа является редуктивной  
    • Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если Gk¯ является полупростым или редуктивным  
  • Классификация редуктивных групп

    • Редуктивные группы включают GL(n), SL(n), SO(n) и Sp(2n)  
    • Классификация редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем дана Клодом Шевалле  
    • Простые группы классифицируются по диаграммам Дынкина  
    • Классификация конечных простых групп: большинство конечных простых групп возникают как группа из k-точек простой алгебраической группы  
  • Приложения

    • Теория представлений: неприводимые представления унипотентных групп тривиальны, неприводимые представления редуктивных групп конечномерны и индексируются по доминирующим весам  
    • Теория представлений редуктивных групп над полем с нулевой характеристикой эквивалентна теории представлений компактных связных групп Ли  
    • Теория представлений редуктивных групп над полем с положительной характеристикой менее изучена  
  • Групповые действия и теория геометрических инвариантов

    • Действие линейной алгебраической группы на многообразие X является морфизмом, удовлетворяющим аксиомам группового действия  
    • Теория геометрических инвариантов изучает фактор-многообразие X / G, описывающее множество орбит группы на X  
    • Кольцо инвариантов конечно порождено, если G редуктивна  
  • Связанные понятия

    • Линейные алгебраические группы допускают варианты: линейные алгебраические моноиды и группы Ли  
    • Группы Ли могут не иметь структуры линейной алгебраической группы над R  
    • Анатолий Мальцев показал, что каждую односвязную нильпотентную группу Ли можно рассматривать как унипотентную алгебраическую группу над R  
  • Универсальное покрытие и линейные алгебраические группы

    • Универсальное покрытие H полупрямого произведения S1 ∈ R2 имеет центр, изоморфный Z, что не является линейной алгебраической группой.  
    • H нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R.  
  • Абелевы многообразия

    • Гладкая связная групповая схема, представляющая собой проективное многообразие над полем, называется абелевым многообразием.  
    • Абелевы многообразия коммутативны, в отличие от линейных алгебраических групп.  
    • Абелевы многообразия обладают богатой теорией, включая эллиптические кривые, которые важны в теории чисел.  
  • Категории Таннакцев

    • Конечномерные представления алгебраической группы G образуют таннакианскую категорию RepG.  
    • Таннакианские категории с «волоконным функтором» эквивалентны аффинным групповым схемам.  
    • Группа Мамфорда–Тейта и мотивирующая группа Галуа построены с использованием этого формализма.  
  • Свойства алгебраических групп

    • Некоторые свойства алгебраической группы G можно извлечь из её категории представлений.  
    • Над полем с нулевой характеристикой RepG является полупростой категорией тогда и только тогда, когда единичный компонент G является проредуктивным.  
  • Группы типа Ли

    • Конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.  
  • Теорема Лэнга

    • Обобщенное многообразие флагов, разложение Брюа, пара BN, группа Вейля, подгруппа Картана, группа сопряженного типа, параболическая индукция.  
  • Реальная форма и диаграмма Сатаке

    • Реальная форма (теория Ли), диаграмма Сатаке.  
  • Адельная алгебраическая группа и гипотеза Вейля о числах Тамагавы

    • Адельная алгебраическая группа, гипотеза Вейля о числах Тамагавы.  
  • Классификация Ленглендса и программа Ленглендса

    • Классификация Ленглендса, программа Ленглендса, геометрическая программа Ленглендса.  
  • Торсор и неабелевы когомологии

    • Торсор, неабелевы когомологии, специальная группа, когомологический инвариант, существенная размерность, Кнезер–Гипотеза Титса, гипотеза Серра II.  
  • Псевдоредуктивная группа и дифференциальная теория Галуа

    • Псевдоредуктивная группа, дифференциальная теория Галуа.  
  • Распределение на линейной алгебраической группе

    • Распределение на линейной алгебраической группе.  
  • Записи и рекомендации

    • Записи.  
    • Рекомендации.  
    • Внешние ссылки.  

Полный текст статьи:

Линейная алгебраическая группа — Arc.Ask3.Ru

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх