Экзотическая сфера

• Определение экзотических сфер

  • Экзотические сферы — это гладкие многообразия, которые не являются стандартными сферами. 
  • Они имеют различные гладкие структуры, отличные от стандартной сферы. 

• Примеры экзотических сфер

  • Джон Милнор представил пример экзотической сферы, полученной склеиванием двух копий шара. 
  • Эгберт Брискорн показал, что пересечение комплексного многообразия с малой сферой дает все возможные гладкие структуры на 7-мерной сфере. 
  • Стивен Смейл доказал, что каждая экзотическая сфера диффеоморфна скрученной сфере. 

• Группы гладких структур

  • Группы Γk описывают все возможные гладкие структуры на ориентированных n-сферах для k ≥ 6. 
  • Группы ΘN и Γn связаны с группами h-кобордизмов и являются абелевыми группами. 

• Приложения и гипотезы

  • Группы Γk и ΘN играют ключевую роль в классификации гладких структур на PL-многообразиях. 
  • В 4-х измерениях не известно, существуют ли экзотические гладкие структуры на 4-мерных сферах. 
  • «Гладкая гипотеза Пуанкаре» утверждает, что экзотических структур на 4-мерных сферах не существует. 

• Ссылки и ресурсы

  • Ссылки на внешние ресурсы и анимационное видео, связанные с экзотическими сферами.