Оглавление
Эпигруппа
-
Определение эпигруппы
- Эпигруппа — это полугруппа, в которой каждый элемент имеет степень, принадлежащую определенной подгруппе.
- Формально, для всех x в полугруппе S существует целое положительное число n и подгруппа G из S, такая, что xn принадлежит G.
-
Названия и приложения
- Эпигруппы известны под множеством названий, включая квазипериодическую полугруппу, полугруппу с привязкой к группе, полностью π-правильную полугруппу, сильно π-правильную полугруппу (snr) или просто π-правильную полугруппу.
- Эпигруппы имеют приложения к теории колец и изучаются в этом контексте.
-
История и свойства
- Эпигруппы были впервые изучены Дугласом Манном в 1961 году.
- Эпигруппы являются обобщением периодических полугрупп и содержат все полностью правильные полугруппы и полностью 0-простые полугруппы.
- Все эпигруппы в конечном счете являются правильными полугруппами.
- Отменяющая эпигруппа — это группа.
- Соотношения Грина D и J совпадают для любой эпигруппы.
- Если S является эпигруппой, то любая обычная подгруппа из S также является эпигруппой.
- В эпигруппе порядок Nambooripad и естественный частичный порядок совпадают.
-
Примеры
- Полугруппа всех квадратных матриц заданного размера над кольцом деления является эпигруппой.
- Мультипликативная полугруппа каждого полупростого артинова кольца является эпигруппой.
- Любая алгебраическая полугруппа является эпигруппой.
-
Структура
- Эпигруппа S разбивается на классы, заданные ее идемпотентами, которые действуют как тождества для каждой подгруппы.
- Для каждого идемпотента e из S множество Ke = {x ∈ S ∣ ∃n > 0: xn ∈ Ge} называется классом унипотентности.
- Подгруппы эпигруппы не обязательно должны быть эпигруппами, но если они есть, то называются субэпигруппами.
- Если эпигруппа S имеет разбиение на унипотентные подгруппы, то это разбиение уникально и его компоненты соответствуют классам унипотентности.
- Эпигруппа является унипотентно разделяемой тогда и только тогда, когда она не содержит подполугруппы, которая является идеальным расширением унипотентной эпигруппы на B2.