Оглавление
- 1 Философия математики
- 1.1 Философия математики
- 1.2 Реальность
- 1.3 Логика и строгость
- 1.4 Связь с науками
- 1.5 Необоснованная эффективность
- 1.6 История
- 1.7 История западной философии математики
- 1.8 Влияние геометрии на греческую философию
- 1.9 Современная философия математики
- 1.10 Школы философии математики
- 1.11 Современные научные школы
- 1.12 Формализм
- 1.13 Критика формализма
- 1.14 Традиционализм
- 1.15 Интуитивизм
- 1.16 Конструктивизм
- 1.17 Финитизм
- 1.18 Структурализм
- 1.19 Проблема идентификации Бенасеррафа
- 1.20 Теории воплощенного разума
- 1.21 Аристотелевский реализм
- 1.22 Психологизм
- 1.23 Эмпиризм
- 1.24 Математический аргумент и квазиэмпиризм
- 1.25 Критика эмпирических взглядов на математику
- 1.26 Реалистические теории
- 1.27 Социальный конструктивизм
- 1.28 За пределами традиционных школ
- 1.29 Методы изучения математического языка
- 1.30 Аргументы в пользу реализма
- 1.31 Эпистемологический аргумент против реализма
- 1.32 Эстетика математики
- 1.33 Философские аспекты
- 1.34 Полный текст статьи:
- 2 Философия математики – Arc.Ask3.Ru
Философия математики
-
Философия математики
- Раздел философии, изучающий природу математики и её взаимосвязь с другими видами деятельности.
- Основные темы: реальность, логика и строгость, связь с физической реальностью, связь с наукой, связь с приложениями, математическая истина.
-
Реальность
- Вопрос о том, является ли математика чистым продуктом человеческого разума или обладает реальностью.
- Платонизм: математические объекты существуют сами по себе в абстракции.
- Современные математики считают свои объекты реальными.
-
Логика и строгость
- Математические рассуждения требуют строгости.
- Логика не специфична для математики, но в математике уровень строгости выше.
- Парадоксы поставили под сомнение логическую основу математики.
- Математическая логика решила проблемы обоснования математики.
-
Связь с науками
- Математика используется в науках для моделирования явлений.
- Точность предсказаний зависит от адекватности модели.
- Математика поддается фальсификации и часто получается в результате экспериментов.
-
Необоснованная эффективность
- Математические теории имеют приложения за пределами своей первоначальной области.
- Примеры: разложение натуральных чисел, теория эллипсов, неевклидовы геометрии.
- Математика стимулирует исследования в физике.
-
История
- Математика берет начало в спорах и разногласиях.
- Вопрос о случайности или необходимости рождения математики остается предметом споров.
- Философы математики стремятся дать отчет о природе математики и её результатах.
-
История западной философии математики
- Пифагор: теория “все есть математика”
- Платон: изучение онтологического статуса математических объектов
- Аристотель: логика и вопросы бесконечности
-
Влияние геометрии на греческую философию
- Греки считали, что 1 – это не число, а единица произвольной длины
- Число определялось как множество
- Открытие иррациональности квадратного корня из двух изменило греческую философию математики
-
Современная философия математики
- Вечная проблема: взаимосвязь между логикой и математикой
- Интерес к формальной логике, теории множеств и фундаментальным проблемам
- Программа “Основы математики”
-
Школы философии математики
- Формализм, интуиционизм, логицизм
- Формализация понятий аксиомы, утверждения и доказательства
- Теория категорий как новый язык математического мышления
-
Современные научные школы
- Художественный: математика как эстетическое сочетание допущений
- Платонизм: математика как часть реальности
- Математизм: существование только математических объектов
- Логицизм: математика сводима к логике
- Формализм: математика как набор правил
- Конвенционализм: математика как соглашение
- Интуитивизм: математика как интуиция
- Конструктивизм: математика как создание
- Финитизм: математика как конечная
- Структурализм: математика как структура
- Теории воплощенного разума: аристотелевский реализм, психологизм, эмпиризм
- Фикционализм: математика как фикция
- Социальный конструктивизм: математика как социальный процесс
- Нетрадиционные школы: новые подходы к философии математики
-
Формализм
- Математические утверждения рассматриваются как следствия правил манипулирования строками.
- Формализм утверждает, что математические истины не связаны с числами и множествами.
- Дедуктивизм утверждает, что теорема Пифагора является относительной истиной, если следует из аксиом.
- Формализм не исключает возможности интерпретации, но позволяет математикам продолжать работу.
-
Критика формализма
- Формализм умалчивает о значимости систем аксиом.
- Реальные математические идеи далеки от игр с манипулированием строками.
- Формализм не решает, какие системы аксиом изучать.
-
Традиционализм
- Анри Пуанкаре считал, что аксиомы геометрии следует выбирать исходя из результатов.
- Пуанкаре использовал неевклидову геометрию в работе над дифференциальными уравнениями.
-
Интуитивизм
- Интуиционизм утверждает, что математические истины познаются на опыте.
- Л. E. J. Брауэр считал, что математические объекты возникают из априорных форм волевых актов.
- Интуиционисты отвергают полезность формализованной логики.
-
Конструктивизм
- Конструктивизм утверждает, что в математический дискурс должны допускаться только явно сконструированные объекты.
- Эрретт Бишоп доказал версии теорем реального анализа как конструктивного анализа.
-
Финитизм
- Финитизм утверждает, что математический объект не существует, если не может быть построен из натуральных чисел за конечное число шагов.
- Леопольд Кронекер был известным сторонником финитизма.
- Ультрафинитизм отвергает не только бесконечности, но и конечные величины.
-
Структурализм
- Структурализм утверждает, что математические теории описывают структуры.
- Математические объекты определяются их местами в структурах.
- Структурализм утверждает объективную истинностную ценность математических утверждений.
-
Проблема идентификации Бенасеррафа
- Абстрактные структуры и математики из плоти и крови сталкиваются с эпистемологической проблемой.
- Реструктурализм утверждает, что структуры существуют постольку, поскольку их иллюстрирует конкретная система.
- Постреалистический структурализм отрицает существование абстрактных математических объектов.
-
Теории воплощенного разума
- Математическое мышление является естественным результатом человеческого когнитивного аппарата.
- Математика не универсальна и существует только в человеческом мозге.
- Люди создают математику, но не открывают её.
-
Аристотелевский реализм
- Математика изучает свойства, которые могут быть реализованы в физическом мире.
- Объекты математики, такие как числа, могут быть физически реализованы.
- Проблема аристотелевского реализма заключается в объяснении высших бесконечностей.
-
Психологизм
- Математические концепции и истины основаны на психологических фактах.
- Психологизм подвергся критике со стороны Фреге и Гуссерля.
-
Эмпиризм
- Математика не может быть известна априори, а открывается эмпирическими исследованиями.
- Современный математический эмпиризм утверждает существование математических сущностей как наилучшего объяснения опыта.
- Квазиэмпиризм утверждает, что математики проверяют гипотезы так же, как и доказывают теоремы.
-
Математический аргумент и квазиэмпиризм
- Математический аргумент может передавать ложность от вывода к посылкам.
- Патнэм утверждал, что квазиэмпирические методы могут быть использованы инопланетными видами.
- Квазиэмпиризм также разработан Имре Лакатосом.
-
Критика эмпирических взглядов на математику
- Эмпирические взгляды на математику критикуются за подверженность ошибкам и случайность.
- Куайн предполагает, что математика кажется достоверной из-за её важности в системе убеждений.
-
Реалистические теории
- Реалистические теории включают теорию воплощенного разума и теорию Филда.
- Филд предложил аксиоматизацию ньютоновской механики без чисел, что реабилитировало математику как полезную художественную литературу.
-
Социальный конструктивизм
- Социальный конструктивизм рассматривает математику как социальную конструкцию.
- Математика основана на неопределенности и корректируется по мере развития.
- Социальные конструктивисты утверждают, что математика основана на социальных факторах и субкультурах.
-
За пределами традиционных школ
- Необоснованная эффективность математики ставит под сомнение поиск оснований.
- Карл Поппер утверждал, что числовые утверждения могут быть понимаемы в двух смыслах.
- Философия языка возрождает интерес к математике как языку науки.
-
Методы изучения математического языка
- Методы Фреге и Тарского были расширены Ричардом Монтегю и другими лингвистами.
- Ганесалингам показал, что математический язык имеет четко определенные типы объектов.
-
Аргументы в пользу реализма
- Аргумент Куайна и Патнэма утверждает, что математические сущности необходимы для научных теорий.
- Конфирмативный холизм утверждает, что все сущности, упомянутые в научных теориях, должны приниматься как реальные.
-
Эпистемологический аргумент против реализма
- Бенасерраф и Филд утверждают, что абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с физическими объектами.
- Пенроуз и Кац предлагают различные защиты реализма.
-
Эстетика математики
- Математики часто ощущают красоту в своих доказательствах.
- Дэвис и Херш утверждают, что второе доказательство иррациональности √ 2 более привлекательно.
- Эрдеш и Чайтин обсуждают идею “книги” элегантных доказательств.
-
Философские аспекты
- Философы критикуют чувство красоты математиков за расплывчатость.
- Харди утверждает, что чистая математика превосходит прикладную по красоте.