Формула обратного дифференцирования

Формула обратной дифференциации Формула обратного дифференцирования (BDF) Семейство неявных методов численного интегрирования ОДУ   Линейные многоступенчатые методы   Используют информацию из уже […]

Формула обратной дифференциации

  • Формула обратного дифференцирования (BDF)

    • Семейство неявных методов численного интегрирования ОДУ  
    • Линейные многоступенчатые методы  
    • Используют информацию из уже вычисленных временных точек  
    • Повышают точность аппроксимации  
  • История и развитие

    • Представлены Чарльзом Ф. Кертиссом и Джозефом О. Хиршфельдером в 1952 году  
    • Официально разработаны К. Уильям Гир в 1967 году  
  • Общая формула

    • Используется для решения задачи о начальном значении  
    • Включает коэффициенты a_k и β для обеспечения порядка s  
  • Вывод коэффициентов

    • Используются интерполяционные полиномы Лагранжа  
    • Приближение y(t_n+s) ≈ y_n+s и y'(t_n+s) ≈ p_n,s'(t_n+s)  
  • Конкретные формулы

    • BDF1: y_n+1 — y_n = hf(t_n+1, y_n+1)  
    • BDF2: y_n+2 — 4/3 y_n+1 + 1/3 y_n = 2/3 hf(t_n+2, y_n+2)  
    • BDF3: y_n+3 — 18/11 y_n+2 + 9/11 y_n+1 — 2/11 y_n = 6/11 hf(t_n+3, y_n+3)  
    • BDF4: y_n+4 — 48/25 y_n+3 + 36/25 y_n+2 — 16/25 y_n+1 + 3/25 y_n = 12/25 hf(t_n+4, y_n+4)  
    • BDF5: y_n+5 — 300/137 y_n+4 + 300/137 y_n+3 — 200/137 y_n+2 + 75/137 y_n+1 — 12/137 y_n = 60/137 hf(t_n+5, y_n+5)  
    • BDF6: y_n+6 — 360/147 y_n+5 + 450/147 y_n+4 — 400/147 y_n+3 + 225/147 y_n+2 — 72/147 y_n+1 + 10/147 y_n = 60/147 hf(t_n+6, y_n+6)  
  • Стабильность

    • Методы с s > 6 не стабильны к нулю  
    • Область устойчивости методов BDF содержит левую половину комплексной плоскости  
    • Методы BDF являются наиболее эффективными линейными многоступенчатыми методами  

Полный текст статьи:

Формула обратного дифференцирования

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх