Оглавление
Формула обратной дифференциации
-
Формула обратного дифференцирования (BDF)
- Семейство неявных методов численного интегрирования ОДУ
- Линейные многоступенчатые методы
- Используют информацию из уже вычисленных временных точек
- Повышают точность аппроксимации
-
История и развитие
- Представлены Чарльзом Ф. Кертиссом и Джозефом О. Хиршфельдером в 1952 году
- Официально разработаны К. Уильям Гир в 1967 году
-
Общая формула
- Используется для решения задачи о начальном значении
- Включает коэффициенты a_k и β для обеспечения порядка s
-
Вывод коэффициентов
- Используются интерполяционные полиномы Лагранжа
- Приближение y(t_n+s) ≈ y_n+s и y'(t_n+s) ≈ p_n,s'(t_n+s)
-
Конкретные формулы
- BDF1: y_n+1 – y_n = hf(t_n+1, y_n+1)
- BDF2: y_n+2 – 4/3 y_n+1 + 1/3 y_n = 2/3 hf(t_n+2, y_n+2)
- BDF3: y_n+3 – 18/11 y_n+2 + 9/11 y_n+1 – 2/11 y_n = 6/11 hf(t_n+3, y_n+3)
- BDF4: y_n+4 – 48/25 y_n+3 + 36/25 y_n+2 – 16/25 y_n+1 + 3/25 y_n = 12/25 hf(t_n+4, y_n+4)
- BDF5: y_n+5 – 300/137 y_n+4 + 300/137 y_n+3 – 200/137 y_n+2 + 75/137 y_n+1 – 12/137 y_n = 60/137 hf(t_n+5, y_n+5)
- BDF6: y_n+6 – 360/147 y_n+5 + 450/147 y_n+4 – 400/147 y_n+3 + 225/147 y_n+2 – 72/147 y_n+1 + 10/147 y_n = 60/147 hf(t_n+6, y_n+6)
-
Стабильность
- Методы с s > 6 не стабильны к нулю
- Область устойчивости методов BDF содержит левую половину комплексной плоскости
- Методы BDF являются наиболее эффективными линейными многоступенчатыми методами