Функциональный квадратный корень

• Определение функционального квадратного корня

  • Функциональный квадратный корень — это функция, удовлетворяющая f(f(x)) = g(x) для всех x. 
  • Обозначения для функционального квадратного корня: f = g[1/2] и f = g1/2. 

• История изучения

  • Хеллмут Кнезер исследовал функциональный квадратный корень из экспоненциальной функции в 1950 году. 
  • Чарльз Бэббидж изучал решения уравнения f(f(x)) = x в 1815 году. 
  • Бэббидж показал, что функциональное сопряжение решения уравнения является также решением. 

• Решения уравнения Бэббиджа

  • Систематический метод получения функциональных корней основан на решениях уравнения Шредера. 
  • Существует множество тривиальных решений при достаточно большой области корневой функции. 

• Примеры функциональных квадратных корней

  • f(x) = 2×2 является функциональным квадратным корнем из g(x) = 8×4. 
  • f(x) = cos(n arccos(x)) является функциональным квадратным корнем из многочлена Чебышева Tn(x). 
  • f(x) = x/(2 + x(1 — 2)) и f(x) = x/(2 — x) являются функциональными квадратными корнями из g(x) = x/(2 — x) и g(x) = x/(2 + x(1 — 2)).