Оглавление
Функциональный квадратный корень
-
Определение функционального квадратного корня
- Функциональный квадратный корень – это функция, удовлетворяющая f(f(x)) = g(x) для всех x.
- Обозначения для функционального квадратного корня: f = g[1/2] и f = g1/2.
-
История изучения
- Хеллмут Кнезер исследовал функциональный квадратный корень из экспоненциальной функции в 1950 году.
- Чарльз Бэббидж изучал решения уравнения f(f(x)) = x в 1815 году.
- Бэббидж показал, что функциональное сопряжение решения уравнения является также решением.
-
Решения уравнения Бэббиджа
- Систематический метод получения функциональных корней основан на решениях уравнения Шредера.
- Существует множество тривиальных решений при достаточно большой области корневой функции.
-
Примеры функциональных квадратных корней
- f(x) = 2×2 является функциональным квадратным корнем из g(x) = 8×4.
- f(x) = cos(n arccos(x)) является функциональным квадратным корнем из многочлена Чебышева Tn(x).
- f(x) = x/(2 + x(1 – 2)) и f(x) = x/(2 – x) являются функциональными квадратными корнями из g(x) = x/(2 – x) и g(x) = x/(2 + x(1 – 2)).
Полный текст статьи: