Оглавление
- 1 Гиперболические функции
- 1.1 Определение гиперболических функций
- 1.2 Основные гиперболические функции
- 1.3 Обратные гиперболические функции
- 1.4 Свойства гиперболических функций
- 1.5 Нечетные и четные функции
- 1.6 Формулы и тождества
- 1.7 Основные формулы
- 1.8 Формулы с половинчатыми аргументами
- 1.9 Квадратные формулы
- 1.10 Неравенство
- 1.11 Обратные функции в виде логарифмов
- 1.12 Производные
- 1.13 Вторые производные
- 1.14 Стандартные интегралы
- 1.15 Выражения ряда Тейлора
- 1.16 Касательная к гиперболе
- 1.17 Гиперболический угол
- 1.18 Функция Гудермана
- 1.19 Связь с экспоненциальной функцией
- 1.20 Гиперболические функции для комплексных чисел
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Гиперболические функции
Гиперболические функции
-
Определение гиперболических функций
- Гиперболические функции аналогичны тригонометрическим, но определяются с использованием гиперболы.
- Производные от гиперболических функций равны соответствующим гиперболическим функциям.
- Используются в гиперболической геометрии и при решении дифференциальных уравнений.
-
Основные гиперболические функции
- Гиперболический синус (sinh)
- Гиперболический косинус (cosh)
- Гиперболический тангенс (tanh)
- Гиперболический котангенс (coth)
- Гиперболический секущий (sech)
- Гиперболический косекант (csch)
-
Обратные гиперболические функции
- Обратный гиперболический синус (arsinh)
- Обратный гиперболический косинус (arcosh)
- Обратный гиперболический тангенс (artanh)
- Обратный гиперболический котангенс (arcoth)
- Обратный гиперболический секущий (arsech)
- Обратный гиперболический косекант (arcsch)
-
Свойства гиперболических функций
- Гиперболический косинус: площадь под кривой равна длине дуги.
- Гиперболический тангенс: решение дифференциального уравнения f’ = 1 – f2.
- Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, похожим на тригонометрические.
-
Нечетные и четные функции
- cosh x и sech x — четные функции
- Остальные функции — нечетные
-
Формулы и тождества
- Гиперболический синус и косинус удовлетворяют тождествам, похожим на тригонометрическое тождество Пифагора.
- Суммы аргументов: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y, cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, tanh(x + y) = tanh x + tanh y / (1 + tanh x tanh y)
- Формулы вычитания: sinh x + sinh y = 2 sinh (x + y/2) cosh (x – y/2), cosh x + cosh y = 2 cosh (x + y/2) cosh (x – y/2)
-
Основные формулы
- sinh(x-y) = sinh x cosh y – cosh x sinh y
- cosh(x-y) = cosh x cosh y – sinh x sinh y
- tanh(x-y) = tanh x – tanh y / (1 – tanh x tanh y)
-
Формулы с половинчатыми аргументами
- sinh(x/2) = sinh x / (cosh x + 1)
- cosh(x/2) = cosh x + 1 / 2
- tanh(x/2) = sinh x / cosh x + 1
-
Квадратные формулы
- sinh^2 x = 1/2 (cosh^2 x – 1)
- cosh^2 x = 1/2 (cosh^2 x + 1)
-
Неравенство
- cosh(t) ≤ e^t^2/2
-
Обратные функции в виде логарифмов
- arsinh(x) = ln(x + x^2 + 1)
- arcosh(x) = ln(x + x^2 – 1)
- artanh(x) = 1/2 ln(1 + x / (1 – x))
- arcoth(x) = 1/2 ln(x + 1 / x – 1)
- arsech(x) = ln(1 / x + 1 / x^2 – 1)
- arcsch(x) = ln(1 / x + 1 / x^2 + 1)
-
Производные
- d/dx sinh x = cosh x
- d/dx cosh x = sinh x
- d/dx tanh x = 1 – tanh^2 x
- d/dx coth x = 1 – coth^2 x
- d/dx sech x = -tanh x
- d/dx csch x = -coth x
-
Вторые производные
- d^2/dx^2 sinh x = sinh x
- d^2/dx^2 cosh x = cosh x
-
Стандартные интегралы
- ∫ sinh(ax) dx = a^-1 cosh(ax) + C
- ∫ cosh(ax) dx = a^-1 sinh(ax) + C
- ∫ tanh(ax) dx = a^-1 ln(cosh(ax)) + C
- ∫ coth(ax) dx = a^-1 ln|sinh(ax)| + C
- ∫ sech(ax) dx = a^-1 arctan(sinh(ax)) + C
- ∫ csch(ax) dx = a^-1 ln|tanh(ax^2)| + C
-
Выражения ряда Тейлора
- sinh x = x + x^3 / 3! + x^5 / 5! + x^7 / 7! + …
- cosh x = 1 + x^2 / 2! + x^4 / 4! + x^6 / 6! + …
- tanh x = x – x^3 / 3 + 2x^5 / 15 – 17x^7 / 315 + …
- coth x = x + 1 / x – 1 / x^2
- sech x = -tanh x
- csch x = -coth x
-
Касательная к гиперболе
- Окружность является касательной к гиперболе xy = 1 в точке (1,1)
- Желтый сектор обозначает площадь и угол наклона
- Желтая и красная области изображают гиперболический сектор
-
Гиперболический угол
- Катеты прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче имеют длину, в 2 раза превышающую круговую и гиперболическую функции
- Гиперболический угол инвариантен по отношению к отображению сжатия
-
Функция Гудермана
- Дает прямую связь между круговыми и гиперболическими функциями
- График функции a cosh(x/a) – контактная линия
-
Связь с экспоненциальной функцией
- Разложение экспоненциальной функции дает тождества e^x = cosh x + sinh x и e^-x = cosh x – sinh x
- Формула Эйлера дает e^x + iy = (cosh x + sinh x)(cos y + i sin y)
- e^x = 1 + tanh x / (1 – tanh x)
-
Гиперболические функции для комплексных чисел
- Функции sinh z и cosh z голоморфны
- Соотношения с обычными тригонометрическими функциями задаются формулой Эйлера
- Гиперболические функции периодичны по отношению к мнимой составляющей с периодом 2πi