Гиперболическое движение
-
Основы гиперболической геометрии
- Гиперболические движения — изометрические автоморфизмы гиперболического пространства.
- Группа гиперболических движений характеризует гиперболическое пространство.
- Феликс Кляйн использовал эту идею в своей эрлангенской программе.
-
Инверсионная геометрия и гиперболические движения
- Гиперболические движения часто основаны на инверсионной геометрии.
- Абсолют — это линия или окружность, инвариантная для всех гиперболических движений.
- Гиперболические движения могут быть описаны с помощью гиперболоидной модели.
-
Примеры использования гиперболических движений
- Расширение метрики d(a, b) = |log(b/a)| к полуплоскости.
- Использование гиперболических движений для измерения расстояний в гиперкомплексной системе счисления.
-
Классификация гиперболических движений
- Абсолютная изометрия: движение без изменений.
- Инверсия через точку: поворот на 180 градусов.
- Вращение вокруг нормальной точки: движение по окружностям.
- «Вращение» вокруг идеальной точки: движение по хороциклам.
- Перемещение по прямой: движение по гиперциклам.
- Отражение через линию: движение по линиям.
- Комбинированное отражение через линию и перевод: движение с тремя отражениями.
-
Использование гиперболических движений в геометрии
- Гиперболические движения позволяют переставлять полукруги и гиперболические линии в модели полуплоскости Пуанкаре.
- В модели диска Пуанкаре гиперболические движения переставляют дуги окружностей, создавая диск Пуанкаре.
-
Метрика в модели полуплоскости Пуанкаре
- Гиперболические движения используются для построения метрики в модели полуплоскости Пуанкаре.
- Вертикальные лучи и полукруги в модели HP называются гиперболическими линиями.
-
Геометрия точек и гиперболических прямых в HP
- Геометрия точек и гиперболических прямых в HP является примером неевклидовой геометрии.
- Построение концепций линий и расстояний в HP опирается на исходную геометрию Евклида.