Гипотеза континуума
-
Определение и история гипотезы континуума
- Гипотеза континуума (CH) утверждает, что каждое бесконечное множество имеет мощность континуума.
- Гипотеза была предложена Кантором в 1874 году и вызвала споры среди математиков.
- В 1900 году Гильберт включил CH в список своих 23 нерешенных проблем математики.
-
Критика и доказательства
- Гёдель показал, что CH не может быть доказана в рамках аксиом Цермело-Френкеля.
- В 1963 году Вудин предложил гипотезу «ultimate L», которая привела его к вере в истинность CH.
- Феферман предложил теорию «определенности», которая не признает CH математически определенным.
- Кельнер и Хэмкинс предложили мультивселенческий подход к теории множеств, который ставит под сомнение возможность решения CH.
-
Обобщенная гипотеза континуума (GCH)
- GCH утверждает, что если мощность множества лежит между степенями двух, то она равна мощности множества или степени двух.
- GCH эквивалентна утверждению о том, что числа beth обеспечивают альтернативное обозначение для этой связи.
- GCH независима от ZFC, но подразумевает аксиому выбора и не может быть доказана из ZFC.
-
Значение GCH
- GCH позволяет вывести значения кардинального возведения в степень для всех ординалов.
- Она также имеет значение для возведения в степень бесконечных и конечных кардиналов.