Оглавление
Гипотеза о пчелиных сотах
-
Гипотеза о сотовой форме
- Правильная шестиугольная сетка имеет наименьший общий периметр среди всех разделений плоскости на области равной площади.
- Гипотеза была доказана в 1999 году Томасом К. Хейлзом.
-
Теорема
- Любая система плавных кривых в R2, разделяющая плоскость на области единичной площади, имеет среднюю длину на единицу площади не меньше, чем у шестиугольной плитки.
- Теорема применима даже при наличии дополнительных компонентов, не ограниченных или не имеющих единичной площади.
-
Формальное доказательство
- Пусть B(0,r) обозначает диск радиуса r, центрированный в начале координат.
- Lr обозначает общую длину Γ ∩ B(0,r), а Ar обозначает общую площадь B(0,r), покрытую ограниченными компонентами единичной площади.
- Предельная поддержка r→∞ Lr/Ar ≥ 12/4.
-
История
- Первое упоминание о гипотезе датируется 36 годом до н.э. и приписывается Марку Теренцию Варрону или Паппу Александрийскому.
- В 17 веке Ян Брожек использовал аналогичную теорему для объяснения шестиугольных сот у пчел.
- В 1943 году Ласло Фейес Тот доказал частный случай гипотезы с выпуклыми многоугольниками.
- Полная гипотеза была доказана Томасом К. Хейлзом в 1999 году.
-
Связанные задачи
- Самая плотная упаковка окружностей на плоскости, где каждая окружность проходит по касательной к шести другим, занимает чуть более 90% площади.
- Случай с квадратной сеткой был решен Джайгенгом Чо в 1989 году, оптимальной фигурой является неправильный шестиугольник.
-
Дополнительные сведения
- Структура Вейра–Фелана является контрпримером к гипотезе Кельвина о решении аналогичной задачи в 3D.