Оглавление
- 1 Группа обоев
- 1.1 Группы обоев
- 1.2 Симметрия узоров
- 1.3 Формальное определение
- 1.4 Изометрии евклидовой плоскости
- 1.5 Кристаллографические обозначения
- 1.6 Дополнительные типы ячеек
- 1.7 Орбифолдная нотация
- 1.8 Символы и обозначения
- 1.9 Группы обоев
- 1.10 Руководство по распознаванию групп обоев
- 1.11 Примеры групп обоев
- 1.12 Группы симметрии и их свойства
- 1.13 Группы обоев и их симметрия
- 1.14 Примеры групп обоев
- 1.15 Типы решеток
- 1.16 Группы симметрии и их изоморфизмы
- 1.17 Зависимость групп обоев от преобразований
- 1.18 Веб-демонстрация и программное обеспечение
- 1.19 Дополнительные ресурсы
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Группа обоев
Группа обоев
-
Группы обоев
- Математическая классификация двумерных повторяющихся рисунков
- Основана на симметриях в узоре
- Примеры: ткань, орнаментальная живопись, расписной фарфор
-
Симметрия узоров
- Преобразование узора для сохранения его вида
- Примеры: трансляционная симметрия, ротация, отражение, скользящие отражения
-
Формальное определение
- Группа обоев – топологически дискретная группа изометрий евклидовой плоскости
- Две группы изометрий относятся к одному типу, если они одинаковы до аффинного преобразования
-
Изометрии евклидовой плоскости
- Переводы, повороты, отражения, скользящие отражения
- Условие независимых переводов: существование линейно независимых векторов v и w
- Условие дискретности: длина вектора v не менее ε
-
Кристаллографические обозначения
- Обозначения Германа-Могена: p31m, cmm, pg
- Полное обозначение: p, n, m, g, 1
- Примитивная ячейка: минимальная область, повторяемая сдвигами решетки
-
Дополнительные типы ячеек
- p2: Примитивная ячейка, двукратная симметрия вращения, отсутствие зеркал и скользящих отражений
-
Орбифолдная нотация
- Предложена Джоном Хортоном Конвеем
- Основана на топологии, а не кристаллографии
- Использует символы для описания бесконечной периодической структуры плоскости
-
Символы и обозначения
- Цифра n указывает на центр n-кратного вращения
- Цифры перед * обозначают центры чистого вращения
- Цифры после * обозначают центры вращения с зеркалами
- Крестик × указывает на скользящее отражение
- Символ “без симметрии” o обозначает отсутствие симметрии
-
Группы обоев
- Существует ровно семнадцать групп обоев
- Орбифолд можно рассматривать как многоугольник с эйлеровой характеристикой 0
- Эйлерова характеристика орбифолда равна 2 минус сумма значений признаков
-
Руководство по распознаванию групп обоев
- Таблица для определения группы обоев по дизайну
- Диаграммы структуры ячеек для каждой группы
-
Примеры групп обоев
- Группа p1 (o): только перемещения, без поворотов, отражений или скользящих отражений
- Группа p2 (2222): четыре центра вращения второго порядка, без отражений или скользящих отражений
- Группа pm (**): оси отражения параллельны, без ротаций
- Группа pg (××): только скользящие отражения, оси параллельны
- Группа cm (*×): оси отражения параллельны, скользящее отражение на полпути между осями
- Группа pmm (*2222): отражения в двух перпендикулярных направлениях, четыре центра поворота второго порядка
- Группа pmg (22*): два центра вращения второго порядка, отражения только в одном направлении
-
Группы симметрии и их свойства
- Группа pgg (22×) имеет два центра вращения второго порядка и скользящие отражения в двух перпендикулярных направлениях.
- Группа cmm (2*22) имеет отражения в двух перпендикулярных направлениях и поворот второго порядка, центр которого не на оси отражения.
- Группа p4 (442) имеет два центра поворота четвертого порядка и один центр поворота второго порядка.
- Группа p4m (*442) имеет два центра поворота четвертого порядка и отражения в четырех направлениях.
- Группа p4g (4*2) имеет два центра поворота четвертого порядка, зеркальные отражения и скользящие отражения.
- Группа p3 (333) имеет три центра поворота третьего порядка без отражений или скользящих отражений.
- Группа p3m1 (*333) имеет три центра поворота третьего порядка, отражения в трех сторонах равностороннего треугольника и скользящие отражения.
- Группа p31m (3*3) имеет три центра поворота третьего порядка, два из которых зеркальные отражения, и отражения в трех направлениях.
-
Группы обоев и их симметрия
- Группы обоев соответствуют случаям, когда треугольники одинаковой ориентации равны, но не симметричны.
- Возможны только определенные тесселяции для каждого изображения.
- Вершины должны быть красными треугольниками, а не синими.
-
Примеры групп обоев
- Группа p6 (632) имеет один центр вращения шестого порядка, два центра вращения третьего порядка и три центра вращения второго порядка.
- Группа p6m (*632) имеет один центр вращения шестого порядка, два центра вращения третьего порядка и три центра вращения второго порядка, а также отражения в шести направлениях.
-
Типы решеток
- Существует пять типов решеток, соответствующих пяти группам обоев.
- В пяти случаях вращательной симметрии порядка 3 или 6 элементарная ячейка состоит из двух равносторонних треугольников.
- В трех случаях вращательной симметрии порядка 4 ячейка представляет собой квадрат.
- В пяти случаях отражения или скользящего отражения ячейка представляет собой прямоугольник.
-
Группы симметрии и их изоморфизмы
- Группы обоев – это наборы групп симметрии, но для каждой коллекции существует бесконечно много групп симметрии.
- Число степеней свободы равно: 6 для p2, 5 для pmm, pmg, pgg и cmm, 4 для всего остального.
- Некоторые изоморфизмы групп симметрии: p1: Z2, pm: Z × D∞, pmm: D∞ × D∞.
-
Зависимость групп обоев от преобразований
- Группа обоев с рисунком инвариантна в отношении изометрии и равномерного масштабирования.
- Трансляционная симметрия сохраняется при произвольных биективных аффинных преобразованиях.
- Отражение в линии и отражение при скольжении сохраняются при расширении/сжатии вдоль или перпендикулярно оси отражения и отражения при скольжении.
-
Веб-демонстрация и программное обеспечение
- Несколько программных графических инструментов позволяют создавать 2D-узоры с использованием групп симметрии обоев.
- Примеры инструментов: MadPattern, Tess, Wallpaper Symmetry, TALES GAME, Kali, Inkscape, SymmetryWorks, EscherSketch, Repper.
-
Дополнительные ресурсы
- Список групп плоской симметрии.
- Апериодическая укладка плитки.
- Кристаллография.
- Группа слоев.
- Математика и искусство.
- M. C. Эшер.
- Группа точек.
- Группы симметрии в одном измерении.
- Тесселяция.
- Записи.
- Рекомендации.