Вводный модуль
-
Определение и свойства инъективных модулей
- Инъективный модуль — это модуль, в котором каждый гомоморфизм инъективен.
- Инъективные модули являются важными в алгебраической геометрии и гомологической алгебре.
- Инъективные модули над коммутативными кольцами являются абелевыми группами.
-
Примеры и свойства инъективных модулей
- Примеры включают векторное пространство над полем и модуль над кольцом многочленов.
- Инъективные модули обладают свойствами делимости и являются когенераторами в категории абелевых групп.
- Инъективные модули связаны с плоскими модулями и имеют двойственность с проективными модулями.
-
Инъективные когенераторы и их роль
- Абелева группа Q/Z является инъективным когенератором в категории абелевых групп.
- Каждый модуль является подмодулем инъективного модуля, что означает, что категория левых R-модулей обладает достаточным количеством инъективов.
-
Инъективные разрешения и их применение
- Каждый модуль имеет инъективное разрешение, которое может использоваться для определения производных функторов.
- Инъективная размерность модуля — это минимальная длина инъективного разрешения.
-
Неразложимые инъективные модули
- Неразложимые инъективные модули имеют локальное кольцо эндоморфизмов и являются инъективными оболочками модулей над простыми идеалами.
- Над коммутативными нетеровыми кольцами каждый инъективный модуль является прямой суммой неразложимых модулей.
-
Смена колец и ее последствия
- Кольца и их модули могут быть рассмотрены над подкольцами и фактор-кольцами.
- При смене колец инъективные модули могут оставаться инъективными, но могут возникать новые инъективные модули.
-
Самоинъективные кольца
- Некоторые кольца являются инъективными как модули над собой, например, кольца Фробениуса и собственные частные дедекиндовых областей.
- Квазифробениусовые кольца обладают теоретико-модульным свойством, что проективные модули являются инъективными.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.