Инвариант Кервера

Оглавление1 Инвариант Кервера1.1 Определение инварианта Кервера1.2 История и примеры1.3 Примеры и классификация1.4 Текущие исследования1.5 История инварианта Кервера1.6 Группы коэффициентов Ωn(точка)1.7 […]

Инвариант Кервера

  • Определение инварианта Кервера

    • Инвариант Кервера измеряет, может ли многообразие быть преобразовано в сферу.  
    • Он равен 0, если многообразие может быть преобразовано, и 1 в противном случае.  
    • Определяется как Arf-инвариант косоквадратичной формы в группе гомологий.  
  • История и примеры

    • Инвариант Кервера обобщает инвариант Арфа для обрамленных поверхностей.  
    • Кервер использовал его для построения 10-мерного PL-многообразия.  
    • Кервейр и Милнор вычислили группу экзотических сфер, используя инвариант Кервера.  
  • Примеры и классификация

    • Стандартный встроенный тор имеет инвариант Кервера 0.  
    • Проблема инварианта Кервера: в каких измерениях существуют многообразия с ненулевым инвариантом.  
    • Основные результаты: измерения 2, 6, 14, 30, 62, 126.  
  • Текущие исследования

    • Чжоули Сюй объявил о многообразии с ненулевым инвариантом Кервера в размерности 126.  
    • Основные результаты принадлежат Уильяму Браудеру и Майклу А. Хилл, Майкл Дж. Хопкинс и Дуглас К. Равенел.  
    • В настоящее время измерение 126 остается открытым.  
  • История инварианта Кервера

    • Кервер (1960) доказал, что инвариант равен нулю для многообразий размерности 10 и 18  
    • Кервер и Милнор (1963) доказали, что инвариант может быть отличным от нуля для многообразий размерности 6 и 14  
    • Андерсон, Браун и Петерсон (1966) доказали, что инвариант равен нулю для многообразий размерности 8n + 2 при n>1  
    • Маховальд и Тангора (1967) доказали, что инвариант может быть отличным от нуля для многообразий размерности 30  
    • Браудер (1969) доказал, что инвариант равен нулю для многообразий размерности n, отличных от вида 2k − 2  
    • Барратт, Джонс и Маховальд (1984) показали, что инвариант отличен от нуля для многообразия размерности 62  
    • Сюй (2016) привел альтернативное доказательство  
  • Группы коэффициентов Ωn(точка)

    • Группы коэффициентов Ωn(точка) имеют период 28 = 256 в n  
    • Группы коэффициентов Ωn(точка) равны нулю при n = -1, -2 и -3  
    • Группы коэффициентов Ωn (точка) могут обнаруживать ненулевые инварианты Кервера  
  • Инвариант Кервера–Милнора

    • Инвариант Кервера–Милнора связан с рамочной операцией 2-, 6- или 14-мерного рамочного многообразия  
    • Дает изоморфизмы из 2-й и 6-й стабильных гомотопических групп сфер к Z/2Z  
    • Гомоморфизм из 14-й стабильной гомотопической группы сфер на Z/2Z  
    • Для n = 2, 6, 14 существует экзотическое обрамление на Sn/2 × Sn/2 с инвариантом Кервера–Милнора 1  
  • Связанные инварианты

    • Сигнатура, 4k-мерный инвариант  
    • Инвариант Де Рама, (4k + 1)-мерный инвариант  
  • Рекомендации и внешние ссылки

    • Слайды и видеозапись лекции Хопкинса в Эдинбурге, 21 апреля 2009 г.  
    • Домашняя страница Дуга Равенела в Arf-Kervaire  
    • Летний семинар Гарварда и Массачусетского технологического института по инварианту Кервера  
    • “Решена проблема с инвариантом Кервера Один”, 23 апреля 2009 года, запись в блоге Джона Баэза и обсуждение в кафе n-категории  
    • Экзотические сферы в многообразном атласе  
    • Популярные новостные сюжеты  
    • Экзотика гиперсферы: Проблема инварианта Кервера имеет решение!  
    • Решена проблема 45-летней давности о многомерных сферах – вероятно, Давиде Кастельвекки, август 2009 года, Scientific American  
    • Математики решают головоломку с инвариантом Кервера 45-летней давности, Эрика Кларрайх, 20 июля 2009  

Полный текст статьи:

Инвариант Кервера

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх