Оглавление
Инвариант Кервера
-
Определение инварианта Кервера
- Инвариант Кервера измеряет, может ли многообразие быть преобразовано в сферу.
- Он равен 0, если многообразие может быть преобразовано, и 1 в противном случае.
- Определяется как Arf-инвариант косоквадратичной формы в группе гомологий.
-
История и примеры
- Инвариант Кервера обобщает инвариант Арфа для обрамленных поверхностей.
- Кервер использовал его для построения 10-мерного PL-многообразия.
- Кервейр и Милнор вычислили группу экзотических сфер, используя инвариант Кервера.
-
Примеры и классификация
- Стандартный встроенный тор имеет инвариант Кервера 0.
- Проблема инварианта Кервера: в каких измерениях существуют многообразия с ненулевым инвариантом.
- Основные результаты: измерения 2, 6, 14, 30, 62, 126.
-
Текущие исследования
- Чжоули Сюй объявил о многообразии с ненулевым инвариантом Кервера в размерности 126.
- Основные результаты принадлежат Уильяму Браудеру и Майклу А. Хилл, Майкл Дж. Хопкинс и Дуглас К. Равенел.
- В настоящее время измерение 126 остается открытым.
-
История инварианта Кервера
- Кервер (1960) доказал, что инвариант равен нулю для многообразий размерности 10 и 18
- Кервер и Милнор (1963) доказали, что инвариант может быть отличным от нуля для многообразий размерности 6 и 14
- Андерсон, Браун и Петерсон (1966) доказали, что инвариант равен нулю для многообразий размерности 8n + 2 при n>1
- Маховальд и Тангора (1967) доказали, что инвариант может быть отличным от нуля для многообразий размерности 30
- Браудер (1969) доказал, что инвариант равен нулю для многообразий размерности n, отличных от вида 2k − 2
- Барратт, Джонс и Маховальд (1984) показали, что инвариант отличен от нуля для многообразия размерности 62
- Сюй (2016) привел альтернативное доказательство
-
Группы коэффициентов Ωn(точка)
- Группы коэффициентов Ωn(точка) имеют период 28 = 256 в n
- Группы коэффициентов Ωn(точка) равны нулю при n = -1, -2 и -3
- Группы коэффициентов Ωn (точка) могут обнаруживать ненулевые инварианты Кервера
-
Инвариант Кервера–Милнора
- Инвариант Кервера–Милнора связан с рамочной операцией 2-, 6- или 14-мерного рамочного многообразия
- Дает изоморфизмы из 2-й и 6-й стабильных гомотопических групп сфер к Z/2Z
- Гомоморфизм из 14-й стабильной гомотопической группы сфер на Z/2Z
- Для n = 2, 6, 14 существует экзотическое обрамление на Sn/2 × Sn/2 с инвариантом Кервера–Милнора 1
-
Связанные инварианты
- Сигнатура, 4k-мерный инвариант
- Инвариант Де Рама, (4k + 1)-мерный инвариант
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Слайды и видеозапись лекции Хопкинса в Эдинбурге, 21 апреля 2009 г.
- Домашняя страница Дуга Равенела в Arf-Kervaire
- Летний семинар Гарварда и Массачусетского технологического института по инварианту Кервера
- “Решена проблема с инвариантом Кервера Один”, 23 апреля 2009 года, запись в блоге Джона Баэза и обсуждение в кафе n-категории
- Экзотические сферы в многообразном атласе
- Популярные новостные сюжеты
- Экзотика гиперсферы: Проблема инварианта Кервера имеет решение!
- Решена проблема 45-летней давности о многомерных сферах – вероятно, Давиде Кастельвекки, август 2009 года, Scientific American
- Математики решают головоломку с инвариантом Кервера 45-летней давности, Эрика Кларрайх, 20 июля 2009