Исходное поле
-
Теория источников Швингера
- Источник — абстрактная концепция, разработанная Джулианом Швингером.
- Источник определяет физические свойства создаваемых или разрушаемых частиц.
- Амплитуда вероятности возникновения или распада частицы зависит от воздействия источника.
-
Математическая формулировка
- Исходное поле — фоновое поле J, связанное с исходным полем ϕ.
- Источник проявляется в амплитуде вакуума и функциональном корреляторе Грина.
- Источник эффективно действует в определенной области пространства-времени.
-
Связь с интегралом по траекториям
- В формулировке интеграла по траекториям Фейнмана функция разделения Z[J] генерирует функции Грина.
- Z[J] можно рассматривать как математическое ожидание функции eJϕ.
-
Примеры и приложения
- В теории вероятностей Z[J] можно рассматривать как гамильтониан вынужденного гармонического осциллятора.
- Теория источников значима, так как не нуждается в регуляризации и перенормировке.
-
Теория причинных возмущений
- Теория объясняет, как слабо действуют источники.
- Слабый источник Je создает частицу с импульсом p, а слабый источник Ja поглощает эту частицу.
- Полная амплитуда разрежения определяется как сумма амплитуд разрежения от каждого источника.
-
Теория скалярных полей
- Лагранжиан скалярного поля ϕ, соединенного с током J, задается формулой L = ∂μϕ∂μϕ — m2ϕ2 + Jϕ.
- Амплитуда вакуума определяется как exp(i2∫d4p[ϕ~(p)(pμpμ-m2+iϵ)ϕ~(-p)+J(p)1pμpμ-m2+iϵJ(-p)]).
- Производящий функционал получается из функции разбиения Z[J] = Z[0]e^i2⟨J(y)Δ(y-y’)J(y’)⟩.
- Распространитель определяется как изменение функции разделения.
-
Эффективное действие и аппроксимация среднего поля
- Эффективное действие основано на теории источников Швингера.
- Вайнберг заложил основы эффективной теории поля.
- Эффективное действие используется для получения пропагаторов.
-
Преобразование Лежандра и среднее поле
- Среднее поле определяется как амплитуда разрежения.
- Среднее поле можно выразить через интеграл по траекториям.
- Эффективное действие можно представить как сумму более простых полей.
-
Вершинные функции и корреляторы
- Вершинные функции определяются через корреляторы.
- Корреляторы связаны с N-точечными функциями.
- Вершинные функции используются для изучения рассеяния и спонтанного нарушения симметрии.
-
Теория источников для полей
- Векторные поля описываются слабым источником.
- Амплитуда разрежения зависит от тока источника и его производных.
-
Массивные спин-1 поля
- Массивные спин-1 поля возникают при выборе Landau gauge-fixing.
- Текущий не сохраняется, но может быть улучшен.
- Уравнение движения: (◻ + m2)Aμ = Jμ + ∂ν∂μJν.
-
Массивные спин-2 поля
- Для слабых источников в плоском пространстве Минковского.
- Вакуумная амплитуда: ⟨0|0⟩T¯ = exp(-i∫[T¯μν(x)Δ(x-x′)T¯μν(x′) + …]).
- Амплитуда в импульсном пространстве: T¯μν(p)ημκηνλT¯κλ(p) — 1/m2T¯μν(p)ημκpνpλT¯κλ(p).
- Оператор проектирования: Πμνκλ(p) = 1/2(η¯μκ(p)η¯νλ(p) + η¯μλ(p)η¯νκ(p) — 2/3η¯μν(p)η¯κλ(p)).
-
Уравнение движения для массивных полей
- Уравнение движения для массивных полей включает дивергенцию и энергию-импульсный тензор.
- Дивергенция уравнения движения позволяет исключить нефизические поля.
- Энергия-импульсный тензор может быть улучшен с помощью конструкции Белинфанте-Розенфельда.
-
Массивные поля с произвольным спином
- Можно обобщить источник на поля с произвольным спином.
- Обобщенный источник включает проекционный оператор и поляризацию.
- Проекционный оператор позволяет упростить вакуумную амплитуду в импульсном пространстве.
-
Смешанные симметричные поля
- Можно обобщить теорию на смешанные симметричные поля.
- В N-измерениях смешанные симметричные поля могут быть нефизическими.
- В N≥5 смешанные симметричные поля остаются физически значимыми.
-
Поля с полуцелым спином
- Для полей с полуцелым спином, таких как фермионы, вакуумная амплитуда включает текущий и проекционный оператор.
- В импульсном пространстве амплитуда для фермионов с полуцелым спином имеет вид, зависящий от спина.
- Для полей с полуцелым спином, таких как Rarita-Schwinger фермионы, проекционный оператор включает дополнительные члены.
-
Формула для W_{\frac{3}{2}}
- W_{\frac{3}{2}} = -{\frac{2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\Пи )^{4}}}~J^{\му } (- п) ~ {\Большой [}\гамма ^{0}{\frac {(Р\!\!\!/+м){\большая (}{\bar {\}}} _{\му \ПУ} |_{на оболочке}-{\frac {1} {3}}\гамма ^{\Альфа} {\bar {\}}} _{\Альфа \му} |_{на оболочке}\гамма ^{\бета} {\bar {\}}} _{\бета \ПУ} |_{на оболочке} {\большой)}} {П^{2}-м^{2}} {\большой]} ~J^{\пу} (п)
- W_{\frac{3}{2}} = -{\frac{2}{5}}\int {\frac {д^{4} П} {(2\Пи )^{4}}}~Дж^{\му} (- п)~{\Большой [} \гамма ^{0} {\frac {(\__{\му \ПУ}-{\frac {П_{\му} п_{\пу}} {м^{2}}}) (р\!\!\!/+м) — {\frac {1}{3}} {\Большой (} \гамма _{\му }+{\frac {1}{м}}п_ {\му } {\большой)} {\большой (} П\!\!\!/+м {\большой)} {\большой (}\гамма _{\ню } +{\фрац {1}{м}}п_{\ню }{\большой )}}{П^{2}-м^{2}} {\Большой ]}~Дж^{\ню }(Р)
-
Замена метрики и источника
- Можно заменить уменьшенную метрику η¯μν на обычную ημν, если источник Jμ заменить на J¯μ(p) = 2/5γαΠμανβγβJν(p)
-
Обобщение для спина-j+1/2
- Wj+1/2 = -j+1/2j+3∫d4p(2π)4Jμ1⋯μj(−p)[γ0γαΠμ1⋯μjαν1⋯νjβγβp2−m2]Jν1⋯νj(p)
- Фактор j+1/2j+3 связан с свойствами оператора проекта, беспристрастностью тока и сохранением тока после проектирования
-
Условия и формулировки
- Условия могут быть производными по форме Фирц-Паули и Фанг-Фронсдаль
- Лагранжевые формулировки массивных полей изучены Ламбодаром Сингхом и Карлом Хагеном
- Нерелятивистская версия операторов проекции разработана Чарльзом Земахом
- Метод земаха может быть релятивистски улучшен для рендеринга операторов ковариантной проекции