Изоморфизм

• Определение равенства и изоморфизма

  • Равенство объектов означает, что они имеют одинаковые свойства. 
  • Изоморфизм — это отображение, которое сохраняет свойства объектов. 
  • Изоморфизм не обязательно означает равенство, но они могут быть эквивалентны. 

• Примеры и различия

  • Множество {1, 2, 3} и множество {A, B, C} изоморфны, но не равны. 
  • Векторные пространства V и V∗ имеют одинаковую размерность, но не имеют естественного изоморфизма. 
  • Существуют естественные изоморфизмы между V и V∗∗ и между V и V∗. 

• Естественные изоморфизмы и теория категорий

  • Естественные изоморфизмы не зависят от выбора базиса. 
  • Теория категорий формализует интуицию о естественном изоморфизме. 
  • В некоторых случаях различие между естественным изоморфизмом и равенством не проводится. 

• Равенство и универсальные свойства

  • Объекты с одним и тем же универсальным свойством могут быть изоморфны, но не обязательно равны. 
  • Фактор-пространства часто рассматриваются как пара объектов и отображения, а не как один объект. 

• Контекст теории категорий

  • В теории категорий объекты обычно изоморфны, что является мотивацией для её развития. 
  • При заданных отображениях между объектами возникает вопрос о равенстве, особенно в коммутативных диаграммах. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.