Оглавление
- 1 Непреодолимый повод
- 1.1 Casus irreducibilis
- 1.2 Три случая дискриминанта
- 1.3 Официальное заявление и доказательства
- 1.4 Решение Кардано
- 1.5 Тригонометрическое решение
- 1.6 Отношение к угловому сечению
- 1.7 Обобщение неприводимого случая
- 1.8 Неприводимый случай для квинтичных многочленов
- 1.9 Пример с 25-угольником
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Казус нередуцибилис
Непреодолимый повод
-
Casus irreducibilis
- Название, данное кубическим уравнениям, которые не могут быть решены в терминах действительных радикалов.
- Формула Кардано применима, но требует знания комплексных чисел.
- Неприводимый случай возникает при положительном дискриминанте.
-
Три случая дискриминанта
- D < 0: один вещественный корень и два комплексных корня.
- D = 0: два корня равны, все корни действительны.
- D > 0: три различных вещественных корня, выражаются формулой Кардано.
-
Официальное заявление и доказательства
- Casus irreducibilis утверждает, что невозможно выразить решение в радикалах с вещественными радикандами.
- Доказательство основано на расширении поля и группе Галуа.
-
Решение Кардано
- Уравнение ax3 + bx2 + cx + d = 0 преобразуется в t3 + pt + q = 0.
- Корни задаются формулой с кубическими корнями из 1.
- Неприводимый случай возникает при q2 /4 + p3/27 < 0.
-
Тригонометрическое решение
- Неприводимый случай можно решить тригонометрически в терминах реальных величин.
- Формула предполагает деление угла на три части и использование косинуса.
-
Отношение к угловому сечению
- Приводимый случай связан с возможностью деления угла на три части.
- Неприводимый случай связан с невозможностью деления угла на три части.
- Пример: угол в 60° нельзя разделить на три части циркулем и линейкой.
-
Обобщение неприводимого случая
- Неприводимый многочлен p ∈ F[x] может иметь корень в K ⊆ R, который является продолжением F на радикалы.
- Степень p равна степени 2, а поле его расщепления является итерационным квадратичным расширением F.
- Для неприводимого многочлена степени выше 2 и с вещественными корнями ни один корень не может быть выражен чисто в терминах вещественных радикалов.
-
Неприводимый случай для квинтичных многочленов
- Различие между приводимыми и неприводимыми квинтичными случаями связано с вопросом о пятисекционности угла.
- Для любого угла θ одна пятая часть имеет косинус, который является одним из пяти действительных корней уравнения.
- Если тест на рациональный корень дает рациональный корень x1, квинтичный показатель можно свести.
- Если тест показывает, что рационального корня нет, многочлен может быть неприводимым, и угол θ не является классически пятиразрядным.
-
Пример с 25-угольником
- Попытка построить 25-угольник с помощью циркуля и линейки требует угловой пятиугольницы.
- Минимальный многочлен для cos (14,4°) имеет степень 10, что делает построение невозможным.