Клубок (математика)

• Определение и свойства клубков

  • Клубки – это правильные вложения непересекающихся объединений дуг в 3-шар. 
  • Теория связей включает в себя окружности и дуги, что удобно для алгебраических операций. 
  • Два клубка считаются эквивалентными при наличии изотопии, сохраняющей границу шара. 

• Эквивалентность и теория связей

  • Теория клубков аналогична теории узлов, но вместо замкнутых петель используются нити с гвоздями. 
  • Диаграммы запутывания используются для отображения клубков и служат строительными блоками для диаграмм связей. 

• Рациональные и алгебраические клубки

  • Рациональный клубок – это 2-клубок, гомеоморфный тривиальному 2-клубку. 
  • Диаграммы запутывания рационального клубка имеют простую форму, основанную на последовательных поворотах вокруг определенных точек. 
  • Рациональный клубок определяется через непрерывную дробь, и Конвей доказал его однозначную определенность. 

• Операции с клубками

  • Существует “арифметика” запутывания, включающая сложение, умножение и возврат. 
  • Алгебраический клубок получается путем сложения и умножения рациональных клубков. 
  • Рациональные связи – это замыкания рациональных клубков, определенные путем объединения конечных точек. 

• Обозначения Конвея

  • Конвей разработал систему обозначения узлов, чтобы упростить их описание. 

• Приложения

  • Клубки используются для изучения топологии ДНК и анализа действия ферментов.