Когомологии Де Рама

• Определение и свойства когомологий де Рама

  • Когомологии де Рама — это группа когомологий пучков дифференциальных форм на многообразии. 
  • Они связаны с когомологиями Чеха и являются ациклическими решениями пучков. 
  • Размерность когомологий де Рама равна размерности многообразия минус размерность пространства дифференциальных форм. 

• Связь с когомологиями Чеха

  • Когомологии Чеха и де Рама изоморфны для паракомпактных хаусдорфовых многообразий. 

• Доказательство теоремы

  • Используется длинная точная последовательность пучков, которая разбивается на короткие точные последовательности. 
  • Группы когомологий пучка исчезают на высоких уровнях, что приводит к изоморфизму с когомологиями де Рама. 

• Связанные идеи и приложения

  • Когомологии де Рама вдохновили теорию Ходжа, которая связывает их с гармоническими формами. 
  • На компактных римановых многообразиях гармонические формы являются экстремальными элементами в своих классах эквивалентности. 
  • Разложение Ходжа позволяет разложить любую форму на точные, со-точные и гармонические компоненты. 

• Дополнительные сведения

  • В статье также упоминаются интегрирование по слоям и ∂∂¯-лемма для компактных многообразий Келера.