Кольцо (математика)

• Определение кольца

  • Кольцо — это алгебра с двумя бинарными операциями: сложением и умножением. 
  • Аксиомы кольца включают ассоциативность, коммутативность, наличие единицы и обратимости элементов. 

• Примеры колец

  • Кольца целых чисел, рациональных чисел, вещественных чисел и комплексных чисел являются примерами коммутативных колец. 
  • Алгебра многочленов, алгебра формальных степенных рядов и алгебра непрерывных функций являются примерами коммутативных колец. 
  • Матричные кольца и кольца эндоморфизмов групп являются примерами некоммутативных колец. 

• Основные понятия

  • Продукты и полномочия элементов кольца определяются рекурсивно. 
  • Нулевые делители, нильпотентные элементы, идемпотентные элементы и единицы являются важными понятиями в кольцах. 
  • Группа элементов кольца образует группу при кольцевом умножении. 

• Кольца без мультипликативного тождества

  • Некоторые авторы используют термин «кольцо» без требования наличия мультипликативной единицы. 
  • Примеры включают алгебраические кольца и кольца дифференциальных операторов. 

• Кольца с единицей и без

  • Кольца с единицей включают множество натуральных чисел и кольцо целых чисел. 
  • Кольца без единицы включают множество натуральных чисел без отрицательных чисел и гсч. 

• Подкольца и гомоморфизмы

  • Подкольцо — это подмножество, которое само является кольцом с теми же операциями, что и основное кольцо. 
  • Кольцо может быть гомоморфно вложено в другое кольцо. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.