Компактно созданное пространство

• Определение и свойства компактно сгенерированных пространств

  • Компактно сгенерированное пространство (CG-1) — это хаусдорфово пространство, в котором каждое открытое подпространство также является CG-1. 
  • CG-2 — это хаусдорфово пространство, в котором каждое замкнутое подпространство также является CG-2. 
  • CG-3 — это хаусдорфово пространство, в котором каждое замкнутое подпространство является CG-3. 

• Примеры и контрпримеры

  • Пространство Серпинского является CG-2, но не CG-3. 
  • Компактные пространства и слабо локально компактные пространства являются CG-1, но не обязательно CG-2. 
  • Антикомпактные пространства не генерируются компактно. 
  • Пространство CG-1 может быть получено из CG-2 путем одноточечной компактификации. 
  • Факторы CG-1, CG-2 и CG-3 сохраняют свои свойства компактности. 

• Топологические свойства

  • Подпространства CG-1 не обязательно являются CG-1. 
  • В CG-2 каждое замкнутое множество и каждое открытое множество являются CG-2. 
  • В CG-3 каждое замкнутое множество является CG-3, но не каждое открытое множество. 
  • Произведение CG-1 пространств является CG-1, если все пространства CG-1. 
  • Произведение CG-2 пространств является CG-2, если одно из пространств локально компактно. 
  • Произведение CG-3 пространств может быть CG-3, если одно из пространств локально компактно. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.