Оглавление
- 1 Комплексное число
- 1.1 Определение комплексных чисел
- 1.2 Основные операции
- 1.3 Геометрическая интерпретация
- 1.4 Алгебраические свойства
- 1.5 Дополнительные операции
- 1.6 Основные понятия комплексных чисел
- 1.7 Степени и корни комплексных чисел
- 1.8 Фундаментальная теорема алгебры
- 1.9 История комплексных чисел
- 1.10 История комплексных чисел
- 1.11 Геометрическое представление комплексных чисел
- 1.12 Развитие теории комплексных чисел
- 1.13 Абстрактные алгебраические аспекты
- 1.14 Комплексный анализ
- 1.15 Формула Эйлера и комплексный логарифм
- 1.16 Комплексное возведение в степень
- 1.17 Сложные синусы и косинусы
- 1.18 Голоморфные функции
- 1.19 Приложения комплексных чисел
- 1.20 Геометрия и фрактальная геометрия
- 1.21 Алгебраическая теория чисел
- 1.22 Аналитическая теория чисел
- 1.23 Неправильные интегралы и динамические уравнения
- 1.24 Линейная алгебра
- 1.25 Комплексные числа и их свойства
- 1.26 Комплексные числа в теории управления
- 1.27 Комплексные числа в анализе сигналов
- 1.28 Комплексные числа в физике
- 1.29 Алгебраическая характеристика комплексных чисел
- 1.30 Комплексные числа как топологическое поле
- 1.31 Другие системы счисления
- 1.32 Комплексные числа как R-алгебра
- 1.33 Альтернативные представления комплексных чисел
- 1.34 Гиперкомплексные числа
- 1.35 Завершение поля рациональных чисел
- 1.36 Локальные поля
- 1.37 Дополнительные темы
- 1.38 Полный текст статьи:
- 2 Комплексное число
Комплексное число
-
Определение комплексных чисел
- Комплексные числа дополняются мнимой единицей i, удовлетворяющей уравнению i^2 = -1.
- Комплексные числа выражаются как a + bi, где a и b — действительные числа.
- Комплексные числа образуют поле с действительными числами как подполе.
-
Основные операции
- Сложение и вычитание комплексных чисел определяются через их действительные и мнимые части.
- Умножение комплексных чисел выполняется по правилам умножения действительных чисел.
- Комплексное сопряжение z¯ = x – yi, где x и y — действительные части z.
-
Геометрическая интерпретация
- Комплексные числа можно представить как точки на комплексной плоскости.
- Комплексная плоскость имеет горизонтальную ось для действительных чисел и вертикальную ось для мнимых чисел.
- Комплексные числа с абсолютной величиной единица образуют единичный круг.
-
Алгебраические свойства
- Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле.
- Комплексные числа являются коммутативной алгеброй над действительными числами.
- Комплексные числа образуют евклидово векторное пространство второй размерности.
-
Дополнительные операции
- Комплексное число может быть определено его геометрическими полярными координатами.
- Комплексные числа могут быть разделены на действительную и мнимую части.
- Комплексные числа могут быть представлены как упорядоченная пара действительных чисел.
-
Основные понятия комплексных чисел
- Комплексные числа могут быть представлены в прямоугольной и полярной формах.
- Полярная форма: z = r(cos φ + i sin φ), где r — абсолютное значение, φ — аргумент.
- Произведение и деление комплексных чисел в полярной форме: z1z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)), z1/z2 = r1/r2(cos(φ1 – φ2) + i sin(φ1 – φ2)).
-
Степени и корни комплексных чисел
- n-я степень комплексного числа: zn = z⋅⋯⋅z = rn(cos nφ + i sin nφ).
- n-ные корни: z1/n = rn(cos(φ + 2kπ/n) + i sin(φ + 2kπ/n)).
-
Фундаментальная теорема алгебры
- Уравнение a0z^n + … + anz + a0 = 0 имеет комплексное решение z при условии, что хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля.
- Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле.
-
История комплексных чисел
- Джероламо Кардано ввел понятие комплексных чисел в 1545 году.
- Рафаэль Бомбелли разработал правила для сложной арифметики.
- Уильям Роуэн Гамильтон развил абстрактный формализм для комплексных чисел.
- Термин “воображаемый” был введен Рене Декартом в 1637 году.
- Леонхард Эйлер ввел символ i вместо √-1 для упрощения вычислений.
-
История комплексных чисел
- Эйлер ввел комплексные числа в учебник по элементарной алгебре.
- В 18 веке комплексные числа получили широкое распространение благодаря упрощению вычислений с тригонометрическими функциями.
- В 1730 году де Муавр вывел формулу для комплексных чисел.
- В 1748 году Эйлер вывел формулу комплексного анализа.
-
Геометрическое представление комплексных чисел
- Каспар Вессель описал комплексные числа как точки на комплексной плоскости в 1799 году.
- В 1806 году Арган опубликовал брошюру о комплексных числах.
- Гаусс опубликовал трактат о комплексных числах в 1831 году, установив современные обозначения и терминологию.
-
Развитие теории комплексных чисел
- В начале 19 века другие математики независимо открыли геометрическое представление комплексных чисел.
- Коши и Риман довели комплексный анализ до высокой степени завершенности.
- Общие термины, используемые в теории, принадлежат ее основателям.
-
Абстрактные алгебраические аспекты
- Комплексные числа можно определить как частное поле многочленов.
- Комплексные числа также могут быть представлены матрицами 2 × 2.
- Комплексный анализ имеет практическое применение в прикладной математике и других разделах математики.
-
Комплексный анализ
- Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ.
- Понятия сходящихся рядов и непрерывных функций имеют аналоги в комплексном анализе.
- Комплексная экспоненциальная функция определяется как бесконечный ряд.
-
Формула Эйлера и комплексный логарифм
- Формула Эйлера: exp(iπ) = -1
- Комплексный логарифм: ln(z) = ln|z| + iarg(z)
- Комплексный логарифм многозначен, но основное значение берется при −π < φ < π
-
Комплексное возведение в степень
- zω = exp(ω ln z)
- Комплексные числа не удовлетворяют степенным и логарифмическим тождествам
-
Сложные синусы и косинусы
- Ряды для синуса и косинуса переносятся на сложные аргументы
- Для тангенса и других функций используются методы аналитического продолжения
-
Голоморфные функции
- Функция f: C → C называется голоморфной, если предел существует
- Голоморфные функции удовлетворяют уравнениям Коши–Римана
-
Приложения комплексных чисел
- Комплексные числа используются в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме и других областях
- Комплексное сопряжение применяется в инверсионной геометрии и сетевом анализе
-
Геометрия и фрактальная геометрия
- Форма треугольника определяется на комплексной плоскости
- Множество Мандельброта и наборы Julia формируются на комплексной плоскости
-
Алгебраическая теория чисел
- Полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами имеют решения в C
- Алгебраические числа используются для изучения геометрических вопросов
-
Аналитическая теория чисел
- Комплексные числа используются для изучения чисел с помощью аналитических методов
- Дзета-функция Римана связана с распределением простых чисел
-
Неправильные интегралы и динамические уравнения
- Комплексные числа используются для вычисления неправильных интегралов
- В дифференциальных и разностных уравнениях используются комплексные корни характеристического уравнения
-
Линейная алгебра
- Любая непустая комплексная квадратная матрица имеет собственное значение
-
Комплексные числа и их свойства
- Комплексные числа обобщают понятия, изначально заложенные в действительных числах.
- Комплексные числа используются в теории управления, анализе сигналов и физике.
-
Комплексные числа в теории управления
- Комплексные числа применяются для преобразования систем из временной области в частотную.
- Методы корневого локуса, графика Найквиста и графика Николса используют комплексную плоскость.
- Комплексные числа помогают определить устойчивость и стабильность систем.
-
Комплексные числа в анализе сигналов
- Комплексные числа используются для описания периодически изменяющихся сигналов.
- Комплексные функции применяются в анализе Фурье и цифровой обработке сигналов.
- Комплексные числа используются для описания амплитудной модуляции в радио.
-
Комплексные числа в физике
- В электротехнике преобразование Фурье используется для анализа напряжений и токов.
- Комплексные числа применяются в гидродинамике и квантовой механике.
- Комплексные числа используются в специальной и общей теории относительности.
-
Алгебраическая характеристика комплексных чисел
- Комплексные числа имеют характеристику 0 и алгебраически замкнуты.
- Комплексные числа изоморфны полю комплексных рядов Пюизе.
- Комплексные числа содержат множество собственных подполей.
-
Комплексные числа как топологическое поле
- Комплексные числа обладают топологическими свойствами, такими как замкнутость и инволютивный автоморфизм.
- Комплексные числа изоморфны как топологические поля.
- Комплексные числа отличаются от действительных чисел тем, что ненулевые комплексные числа связаны.
-
Другие системы счисления
- Комплексные числа являются примером конструкции Кэли–Диксона.
- Кватернионы, октонионы, седенионы и тригинтадуонионы являются итеративными расширениями комплексных чисел.
- Комплексные числа не являются упорядоченными полями, что отличает их от действительных чисел.
-
Комплексные числа как R-алгебра
- Комплексные числа могут быть представлены как R-алгебра относительно базиса (1, i).
- Линейная карта C → C может быть представлена матрицей 2 × 2.
-
Альтернативные представления комплексных чисел
- Любая матрица J = (p q r −p) с p2 + qr + 1 = 0 также изоморфна полю C.
- Это обобщается понятием линейной сложной структуры.
-
Гиперкомплексные числа
- Гиперкомплексные числа обобщают R, C, H и O.
- Включают расщепленные комплексные числа, элементы кольца R[x]/(x2 − 1).
-
Завершение поля рациональных чисел
- Поле R является завершением Q по отношению к обычной метрике абсолютных значений.
- Другие варианты показателей на Q ведут к полям Qp из p-адических чисел.
- Алгебраические замыкания Qp¯ от Qp не являются полными по отношению к C.
- Завершение Cp от Qp¯ оказывается алгебраически замкнутым и называется p-адическими комплексными числами.
-
Локальные поля
- Поля R, Qp и их конечные расширения, включая C, называются локальными полями.
-
Дополнительные темы
- Аналитическое продолжение
- Круговое движение с использованием комплексных чисел
- Комплексно-базовая система
- Сложное координатное пространство
- Сложная геометрия
- Геометрия чисел
- Двойственное комплексное число
- Целое число Эйзенштейна
- Геометрическая алгебра
- Единица комплексного числа