Конечно порожденная алгебра

• Определение конечно порожденной алгебры

  • Коммутативная ассоциативная алгебра A над полем K, элементы которой выражаются через конечное число элементов a1,…,an. 
  • Эквивалентно, существует сюръективный оценочный гомоморфизм при a = (a1,…,an), что позволяет представить A как K[X1,…,Xn]/ker(ϕa). 

• Примеры конечно порожденных алгебр

  • Полиномиальная алгебра K[x1,…,xn] конечно порождена. 
  • Поле E = K(t) рациональных функций над K не является конечно порожденной алгеброй над K, но генерируется элементом t. 
  • Если E/F — конечное расширение поля, то E является конечно порожденной алгеброй над F. 

• Свойства конечно порожденных алгебр

  • Гомоморфный образ конечно порожденной алгебры также конечно порожден. 
  • Базисная теорема Гильберта утверждает, что коммутативная конечно порожденная алгебра над нетеровым кольцом является нетеровым кольцом. 

• Связь с аффинными многообразиями

  • Конечно порожденные редуцированные коммутативные алгебры соответствуют аффинным алгебраическим многообразиям. 
  • Аффинное координатное кольцо V соответствует конечно порожденной K-алгебре. 
  • Существует эквивалентность категорий между аффинными алгебрами и приведенными конечно порожденными K-алгебрами. 

• Конечные алгебры против алгебр конечного типа

  • Конечная R-алгебра — это R-модуль, который конечно порожден как R-модуль. 
  • Алгебра конечного типа — это коммутативная алгебра, которая конечно порождена как R-модуль, но обратное утверждение не всегда верно. 
  • Конечные алгебры и алгебры конечного типа связаны с конечными морфизмами и морфизмами конечного типа.